Question

12．打井施工时要将一质量可忽略不计的坚硬底座A送到井底，由于A与井壁间摩擦力很大，工程人员采用了如图所示的装置．图中重锤B质量为m，下端连有一劲度系数为k的轻弹簧，工程人员先将B放置在A上，观察到A不动；然后在B上再逐渐叠加压块，当压块质量达到m时，观察到A开始缓慢下沉时移去压块．将B提升至弹簧下端距井口为H₀处，自由释放B，A被撞击后下沉的最大距离为h₁，以后每次都从距井口H₀处自由释放．已知重力加速度为g，不计空气阻力，弹簧始终在弹性限度内．
（1）求下沉时A与井壁间的摩擦力大小f和弹簧的最大形变量△L；
（2）求撞击下沉时A的加速度大小a和弹簧弹性势能E_p；
（3）若第n次撞击后，底座A恰能到达井底，求井深H．

Answer 1

分析 （1）A开始缓慢下沉时，受力平衡，根据平衡条件求解f，底座质量不计，所以合力为零，结合胡克定律求解；
（2）撞击后AB一起减速下沉，对B，根据牛顿第二定律以及功能关系求解；
（3）A第二次下沉，由功能关系求出下降的距离与第一次下降距离的关系，同理求出第三次下降的距离与第一次下降距离的关系，进而求出第n次下沉过程中向下滑动的距离，再结合数学知识求解．

解答 解：（1）A开始缓慢下沉时f=2mg                            
底座质量不计，所以合力为零，所以始终有：
k△L=f
解得：△L=$\frac{2mg}{k}$            
（2）撞击后AB一起减速下沉，对B，根据牛顿第二定律有：
 k△L-mg=ma             
解得：a=g              
A第一次下沉，由功能关系有：
mg（H₀+△L+h₁）=E_P+fh₁
解得：E_P=mg（H₀-h₁+$\frac{2mg}{k}$）                       
（3）A第二次下沉，由功能关系有：
mg（H₀+△L+h₁+h₂）=E_P+fh₂
又    f=2mg
解得：h₂=2h₁   
A第三次下沉，由功能关系有：
mg（H₀+△L+h₁+h₂+h₃）=E_P+fh₃
解得：h₃=2h₁+h₂=4h₁
同理，A第n次下沉过程中向下滑动的距离为：
 h_n=2^n-1h₁             
所以井底深度为：H=h₁+h₂+…+h_n=（2^n-1-1）h₁．
答：（1）下沉时A与井壁间的摩擦力大小f和弹簧的最大形变量△L是$\frac{2mg}{k}$；
（2）撞击下沉时A的加速度大小a是g，弹簧弹性势能E_p是mg（H₀-h₁+$\frac{2mg}{k}$）；
（3）若第n次撞击后，底座A恰能到达井底，井深H是h₁+h₂+…+h_n=（2^n-1-1）h₁．

点评 本题要求同学们能正确分析物体的受力情况，第三问能求出每次下降距离的数学表达式，采用归纳法进行研究．