Question

（20分）如图所示，M₁N₁N₂M₂是位于光滑水平桌面上的刚性U型金属导轨，导轨中接有阻值为R的电阻，它们的质量为m₀．导轨的两条轨道间的距离为l，PQ是质量为m的金属杆，可在轨道上滑动，滑动时保持与轨道垂直，杆与轨道的接触是粗糙的，杆与导轨的电阻均不计。初始时，杆PQ于图中的虚线处，虚线的右侧为一匀强磁场区域，磁场方向垂直于桌面，磁感应强度的大小为B。现有一位于导轨平面内的与轨道平行的恒力F作用于PQ上，使之从静止开始在轨道上向右作加速运动。已知经过时间t，PQ离开虚线的距离为x，此时通过电阻的电流为I₀，导轨向右移动的距离为x₀（导轨的N₁N₂部分尚未进入磁场区域）。求在此过程中电阻所消耗的能量。不考虑回路的自感。

   

Answer 1

解析：

杆PQ在磁场中运动时，受到的作用力有：外加恒力F，方向向右；磁场的安培力，其大小F_B=BIl，方向向左，式中I是通过杆的感应电流，其大小与杆的速度有关；摩擦力，大小为F_μ，方向向左。根据动能定理，在所考察过程中作用于杆的合力做的功等于杆所增加的动能，即有

                                    （1）

式中v为经过时间t杆速度的大小，W_F为恒力F对杆做的功，W_F安为安培力对杆做的功，W_Fμ为摩擦力对杆做的功。恒力F对杆做的功

               W_F=Fx                                      （2）

因安培力的大小是变化的，安培力对杆做的功用初等数学无法计算，但杆克服安培力做的功等于电阻所消耗的能量，若以E_R表示电阻所消耗的能量，则有

               －W_F安=E_R                                   （3）

摩擦力F_μ是恒力，它对杆做的功

                W_Fμ=－F_μx                                  （4）

但F_μ未知。因U型导轨在摩擦力作用下做匀加速运动，若其加速度为a，则有

                F_μ=m₀a                                     （5）

而             a=2x₀/t²                                      （6）

由（4）、（5）、（6）三式得                      （7）

经过时间t杆的速度设为v，则杆和导轨构成的回路中的感应电动势

               ε=Blv                                        （8）

根据题意，此时回路中的感应电流

                                                     （9）

由（8）、（9）式得

                                                    （10）

由（l）、（2）、（3）、（7）、（10）各式得

                               （11）

评分标准：本题20分。

（1）式3分，（2）式l分，（3）式4分，（7）式4分，（10）式5分，（11）式3分。