Question

16．如图为某自动投放器的示意图，其下半部AB是一长为R的竖直管道，上半部BC是半径为R的四分之一圆弧光滑轨道，AB管内有一原长为R、下端固定的轻质弹簧．投放时，若将弹簧长度压缩了0.5R后锁定，在弹簧上端放置一个可视为质点且质量为m的小球，解除锁定，弹簧可将小球弹射出去．当小球到达顶端C时，对轨道壁的压力恰好为零，不计一切阻力，且锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性势能．已知重力加速度为g，求：
（1）小球到达顶端C时的速度大小v₁；
（2）弹簧压缩了0.5R时的弹性势能E_p1；
（3）若将弹簧压缩了0.6R时，弹簧弹性势能为E_p2=$\frac{36}{25}$E_p1，小球落地点离OO′的水平距离s是多少？

Answer 1

分析 （1）鱼饵到达管口C时做圆周运动的向心力完全由重力提供，有牛顿第二定律列出向心力的方程，速度可求．
（2）不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，所以鱼饵增加的机械能都是弹簧做功的结果，由功能关系知道弹簧具有的弹性势能等于鱼饵增加的机械能．
（3）分别求出质量是m和的鱼饵离开C时的速度，再利用平抛运动规律求出落到水平面到转轴之间的距离．

解答 解：（1）质量为m的鱼饵到达管口C时做圆周运动的向心力，完全由重力提供，
则mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$    …①
由①式解得：v₁=$\sqrt{gR}$    …②
（2）从弹簧释放到最高点C的过程中，弹簧的弹性势能全部转化为鱼饵的机械能，由系统的机械能守恒定律有 
E_P=mg（0.5R+R）+$\frac{1}{2}$mv₁²    …③
由②③式解得：E_p=2mgR…④
（3）设其到达管口C时速度大小为v₂，由机械能守恒定律得：
E_P2=mg（0.6R+R）+$\frac{1}{2}$mv₂²      …⑤
鱼饵离开管口C后做平抛运动，设经过t时间落到水面上，离OO'的水平距离为x，由平抛运动规律有：x=v₂t+R…⑥
h=2R=$\frac{1}{2}$gt²   ⑦
由⑤⑥⑦式解得：x=4.2R
答：（1）鱼饵到达管口C时的速度大小$\sqrt{gR}$；
（2）弹簧压缩到0.5R时的弹性势能为2mgR；
（3）小球落地点离OO′的水平距离是4.2R．

点评 本题考查了圆周运动最高点的动力学方程和平抛运动规律以及机械能守恒定律的应用，转轴转过90°鱼饵在水平面上形成圆周是解决问题的关键，同时要注意正确分析物理过程，明确各过程中的受力以及功能关系等，即可选择正确的物理规律求解．