Question

6．如图所示，手持一根长为l的轻绳的一端在水平桌面上做半径为r、角速度为ω的匀速圆周运动，绳始终保持与该圆周相切，绳的另一端系一质量为m的木块，木块也在桌面上做匀速圆周运动，不计空气阻力，求：
（1）木块受到桌面的摩擦力？
（2）绳的拉力对木块做功的功率．

Answer 1

分析 小球在水平面内做匀速圆周运动，根据小球沿着半径方向和垂直于半径方向的受力可以求得绳的拉力的大小，根据功率的公式可以求得手对木块做功的功率的大小．

解答 解：木块做匀速圆周运动，径向的合力提供向心力，切线的合力为零，因为绳子在切线方向的分力不为零，则木块受到的摩擦力不为零，与绳子拉力切线方向的分力相等．
由图可知，木块做圆周运动的半径为：R=$\sqrt{{l}^{2}+{r}^{2}}$
根据径向的合力提供向心力得：Tcosφ=mRω²，cosφ=$\frac{l}{R}$，sinφ=$\frac{r}{R}$
故T=$\frac{m{R}^{2}{ω}^{2}}{l}$=$\frac{m{ω}^{2}（{l}^{2}+{r}^{2}）}{l}$．
木块受到的摩擦力：f=Tsinφ=$\frac{m{ω}^{2}（{l}^{2}+{r}^{2}）r}{l•\sqrt{{l}^{2}+{r}^{2}}}$
手拉木块做功的功率为：P=Tv=Trω=$\frac{m{ω}^{3}r（{l}^{2}+{r}^{2}）}{l}$．
答：（1）木块受到桌面的摩擦力是$\frac{m{ω}^{2}（{l}^{2}+{r}^{2}）r}{l•\sqrt{{l}^{2}+{r}^{2}}}$；
（2）绳的拉力对木块做功的功率是$\frac{m{ω}^{3}r（{l}^{2}+{r}^{2}）}{l}$．

点评 对物块受力分析是解决本题的关键，知道物体做圆周运动径向的合力提供向心力，切线的合力产生切线加速度，若为匀速圆周运动，则切线的合力为零．