Question

2．如图所示，轨道ABCD的AB段为一半径R=0.2m的光滑$\frac{1}{4}$圆形轨道，BC段为高h=5m的竖直轨道，CD段为水平轨道．一质量为0.1kg的小球由A点从静止开始下滑到B点时速度的大小为2m/s，离开B点后做平抛运动（g取10m/s²），求：
（1）小球离开B点后，在CD轨道上的落地点到C的水平距离．
（2）小球到达B点时对圆形轨道的压力大小．
（3）如果在BCD轨道上再放置一个倾角θ=45°的斜面（如图中虚线所示），那么小球离开B点后能否落到斜面上？如果不能，请说明理由；如果能，请求出它第一次落在斜面上的位置．

Answer 1

分析 ①小球做平抛运动，根据平抛运动的规律可以求得水平距离；
②小球在B点时做的是匀速圆周运动，对小球受力分析，由向心力的公式可以求得小球受到的支持力的大小，在根据牛顿第三定律可以知道对圆形轨道的压力大小；
③小球做平抛运动，根据平抛运动的规律可以求得水平距离，与斜面的长度相对比，可以知道，小球将落在斜面上，再根据平抛运动的规律可以求得落在斜面上的位置．

解答 解：（1）设小球离开B点做平抛运动的时间为t₁，落地点到C点距离为s
由 h=$\frac{1}{2}$gt₁² 得：t₁=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×5}{10}}$s=1 s
s=v_B•t₁=2×1 m=2 m．
（2）小球达B受重力G和向上的弹力F作用，由牛顿第二定律知
F_向=F-G=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：F=3N．
由牛顿第三定律知球对B的压力和对球的支持力大小相等，即小球到达B点时对圆形轨道的压力大小为3N，方向竖直向下．
（3）如图，斜面BEC的倾角θ=45°，CE长d=h=5m
因为d＞s，所以小球离开B点后能落在斜面上
假设小球第一次落在斜面上F点，BF长为L，小球从B点到F点的时间为t₂
Lcosθ=v_Bt₂…①
Lsinθ=$\frac{1}{2}$gt₂²…②
联立①、②两式得：
t₂=0.4s
L=$\frac{{v}_{B}{t}_{2}}{cosθ}$=$\frac{2×0.4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$m=0.8$\sqrt{2}$m=1.13m．
答：（1）小球离开B点后，在CD轨道上的落地点到C的水平距离是2 m；
（2）小球到达B点时对圆形轨道的压力大小为3N．
（3）小球离开B点后能落在斜面上，落在斜面上距B 1.13m 的位置．

点评 本题考查了圆周运动和平抛运动的规律，平抛运动可以分解为在水平方向上的匀速直线运动，和竖直方向上的自由落体运动来求解．