Question

1．一组太空人乘太空穿梭机S，去修理位于离地球表面为h的圆形轨道上的哈勃太空望远镜H，机组人员使穿梭机S进入与H相同的轨道并关闭推动火箭，而望远镜则在穿梭机前方数公里处，如图所示．已知地球表面附近的重力加速度为g，地球半径为R．则：
（1）求轨道上的重力加速度大小；
（2）求哈勃望远镜在轨道上运行的速率和周期；
（3）要追上望远镜，穿梭机首先应进入半径较小的轨道，为此穿梭机必须减小其原有速率，这是为什么？进入低轨道后穿梭机能获得较大的角速度，这又是为什么？（均需写出必要的判断公式）

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}=mg′$，以及地球表面上的物体受到的重力等于万有引力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，化简得到加速度的表达式即可；
（2）根据万有引力提供向心力即可求出；
（3）卫星在原有轨道上加速做离心运动，轨道半径增大，在原有轨道上减速做向心运动，轨道半径减小．

解答 解：（1）由mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$，得地球表面的重力加速度为g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，
轨道处的重力角速度g′则有：$mg′=G\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}$
联立以上二式得：g′=$（\frac{R}{R+h}）^{2}g$
（2）又：$G\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R+h}$
解得：$v=\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$=$R•\sqrt{\frac{g}{R+h}}$
周期：T=$\frac{2πr}{v}=2π（R+h）\sqrt{\frac{R+h}{GM}}$=$\frac{2π}{R}•\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g}}$
（3）先减速减小半径进入较小的轨道，后加速以较大的角速度追上望远镜．由$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$知，穿梭机要进入较低轨道必须有万有引力大于穿梭机做圆周运动所需的向心力，故当v减小时，$m\frac{{v}^{2}}{r}$才减小，这时$G\frac{Mm}{{r}^{2}}＞m\frac{{v}^{2}}{r}$，穿梭机进入半径较小的轨道，之后的速度逐渐增大，追上望远镜后，再增大速度，进入望远镜的轨道即可．
答：（1）轨道上的重力加速度大小；
（2）哈勃望远镜在轨道上运行的速率和周期；
（3）．由$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$知，穿梭机要进入较低轨道必须有万有引力大于穿梭机做圆周运动所需的向心力，故当v减小时，$m\frac{{v}^{2}}{r}$才减小，这时$G\frac{Mm}{{r}^{2}}＞m\frac{{v}^{2}}{r}$，穿梭机进入半径较小的轨道，之后的速度逐渐增大，追上望远镜后，再增大速度，进入望远镜的轨道即可．

点评 本题关键抓住万有引力提供向心力和重力等于万有引力，列式求解出加速度的表达式，代入数据进行计算．