Question

15．如图（a）所示，半径为R的光滑半圆轨道竖直固定放置，它刚好与倾角为37°的斜面底端B相接，直径BC与水平面垂直．质量为m的滑块（可视为质点）从长为L（未知）的斜面顶端A点静止滑下，由B点进入半轴流轨道恰好通过最高点C．设滑块与斜面间的动摩擦因数为μ、涔块与斜面顶端的距离为x，μ随x的变化关系如图（b）所示，重力加速度为g，不计滑块经过B点时的能量损失，取sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）滑块滑至斜面中点时的摩擦力大小f；
（2）滑块滑至斜面底端B点时的速度大小v_B；
（3）斜面的长L．

Answer 1

分析 （1）由图示图象求出动摩擦因数，然后根据滑动摩擦力公式求出滑动摩擦力．
（2）由牛顿第二定律求出到达C点的速度，然后应用动能定理求出滑块到达B点的速度．
（3）应用动能定理求出斜面的长度．

解答 解：（1）由图（b）所示图象可知，滑块到达斜面中点时：μ=0.5，
滑动摩擦力：f=μmgcos37°=0.5×0.8mg=0.4mg；
（2）物块到达C点时，由牛顿第二定律得：mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，
从B到C过程，由动能定理得：-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv_B²，
解得：v_B=$\sqrt{5gR}$；
（3）从A到B过程，摩擦力做功：W_f=-$\frac{0+μmgcos37°}{2}$×L=-0.4mgL，
由动能定理得：mgLsin37°+W_f=$\frac{1}{2}$mv_B²-0，
解得：L=12.5R；
答：（1）滑块滑至斜面中点时的摩擦力大小f为0.4mg；
（2）滑块滑至斜面底端B点时的速度大小v_B为$\sqrt{5gR}$；
（3）斜面的长L为12.5R．

点评 本题综合考查了牛顿第二定律、动能定理等规律，综合性较强，对学生的能力要求较高，以及通过图象求出摩擦力做功是本题的难点．