Question

4．如图所示，AB是倾角为θ=37°的粗糙直轨道，BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切，圆弧的半径为R=1m，一个质量为m=0.5kg的物体（可以看做质点 ）从直轨道上的P点由静止释放，结果它能在两轨道间做往返运动．已知P点与圆弧的圆心O等高，物体与轨道AB间的动摩擦因数为μ=0.2．求：
（1）物体做往返运动的整个过程中在AB轨道上通过的总路程；
（2）为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D，释放点P'距B点的距离至少多大？

Answer 1

分析 （1）物体在斜面上运动时，由于要克服摩擦力做功，机械能不断损失，最终物体以B（还有B关于OE的对称点）为最高点，在圆弧底部做往复运动，对整个过程，运用动能定理可求出物体在AB轨道上通过的总路程；
（2）根据圆周运动中物体能过最高点D的条件求出D点的速度，然后根据动能定理求出最小距离．

解答 解：（1）因摩擦力始终对物体做负功，所以物体最终在圆心为2θ的圆弧上往复运动
对整体应用动能定理得：mgRcosθ-μmgS cosθ=0  
所以总路程为：S=5m
（2）设物体刚好到D点，则由向心力公式得：mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
对全过程由动能定理得：mgLsinθ-μmgL cosθ-mgR（1+cosθ）=$\frac{1}{2}$mv_D²  
解得最小距离为：L=$\frac{43}{22}$m 
答：（1）物体做往返运动的整个过程中在AB轨道上通过的总路程为5m；
（2）为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D，释放点P'距B点的距离至少为$\frac{43}{22}$m．

点评 本题的关键要分析清楚物体的运动过程，判断物体最终的运动状态，把握圆周运动向心力来源，应动能定理、向心力知识结合解答．