Question

12．如图1所示，A、B为水平放置的平行金属板，板间距离为d（d远小于板的长和宽）．在两板的中心各有小孔O和O′，O和O′处在同一竖直线上．在两板之间有一个带负电的、质量为m的质点P．已知A、B间所加电压为U₀时，质点P所受的电场力恰好与重力平衡．$T=\sqrt{\frac{12d}{g}}$现在A、B 间加上如图2所示随时间t作周期性变化的电压U，已知周期（g为重力加速度）．在第一个周期内的某一时刻t₀，在A、B 间的中点处由静止释放质点P，一段时间后质点P从金属板的小孔飞出．试求：

（1）质点P所带的电量q和某一时刻t₀释放时的加速度a．
（2）t₀在什么范围内，可使质点在飞出小孔之前运动的时间最短．
（3）t₀在哪一时刻，可使质点P从小孔飞出时的速度达到最大；并求出最大动能．

Answer 1

分析 分析质点的运动情况：在第一个周期内，若质点在前半周内释放，可能先向上做匀加速直线运动，后向上做匀减速直线运动；后半周内释放，可能先向下做匀加速直线运动，后向下做匀减速直线运动．要使质点飞出小孔之前时间最短，必须一直加速，而且加速度较大．向上或向下的加速度大小由牛顿第第二定律求出，向下的加速度大，故质点须在后半周内某个时刻释放，且运动时间小于$\frac{1}{2}$T，质点在飞出小孔之前运动的时间即最短；要使质点P从小孔飞出时的速度达到最大，须使质点释放后先向上加速、再向上减速运动，在到达小孔O时速度减为0，然后向下加速运动直到小孔O’

解答 解：（1）设质点P的质量为m，电量为q，当A、B间的电压为U₀时，有  q$\frac{U_0}{d}$=mg  
q=$\frac{mgd}{{U}_{0}}$
当两板间的电压为2U₀时，P的加速度向上，其大小为a₁，则 q$\frac{{2{U_0}}}{d}$-mg=ma₁    
解得     a₁=g              
当两板间的电压为-2U₀时，P的加速度向下，其大小为a₂，则 q$\frac{{2{U_0}}}{d}$+mg=ma₂
解得  a₂=3g              
（2）要使质点在飞出小孔之前运动的时间最短，须使质点释放后一直向下加速运动．设质点释放后经过时间t到达小孔O’，则 $\frac{1}{2}d=\frac{1}{2}{a_2}{t^2}$
解得$t=\sqrt{\frac{d}{3g}}$
因为$T=\sqrt{\frac{12d}{g}}$，所以$t＜\frac{T}{2}$，质点到达小孔之前能一直加速．
因此要使质点在飞出小孔之前运动的时间达到最短，质点释放的时刻t₀应满足 $\frac{T}{2}≤{t_0}≤T-t$
即 $\sqrt{\frac{3d}{g}}≤{t_0}≤5\sqrt{\frac{d}{3g}}$
（3）要使质点P从小孔飞出时的速度达到最大，须使质点释放后先向上加速、再向上减速运动，在到达小孔O时速度减为0，然后向下加速运动直到小孔O’．0=v₁-3gt₂$\frac{1}{2}d=\frac{1}{2}gt_1^2+（{v_1}{t_2}-\frac{1}{2}•3gt_2^2）$
由以上各式解得  ${t_1}=\sqrt{\frac{3d}{4g}}$，${t_2}=\sqrt{\frac{d}{12g}}$
设质点释放后向上加速时间为t₁、向上减速时间为t₂，则  v₁=gt₁因为${t_1}＜\frac{T}{2}$，${t_2}＜\frac{T}{2}$，因此质点P能向上先加速后减速恰好到达小孔O．
设质点从小孔O向下加速运动到小孔O’经过的时间为t₃，则 $d=\frac{1}{2}•3gt_3^2$
解得   ${t_3}=\sqrt{\frac{2d}{3g}}$
因为${t_2}+{t_3}=\frac{{（1+2\sqrt{2}）}}{{2\sqrt{3}}}\sqrt{\frac{d}{g}}＜\frac{T}{2}$，因此质点P能从小孔O向下一直加速运动到小孔O’，此时质点P从小孔O’飞出时的速度达到最大．
因此，要使质点P从小孔飞出时的速度达到最大，质点P释放的时刻应为${t_0}=\frac{T}{2}-{t_1}=\sqrt{\frac{3d}{4g}}$
E_k=3mgd     
答：（1）质点P所带的电量q为$\frac{mgd}{{U}_{0}}$和某一时刻t₀释放时的加速度a分别为g，3g．
（2）t₀在$\sqrt{\frac{3d}{g}}≤{t}_{0}≤5\sqrt{\frac{d}{3g}}$范围内，可使质点在飞出小孔之前运动的时间最短．
（3）t₀在$\sqrt{\frac{3d}{4g}}$，可使质点P从小孔飞出时的速度达到最大；最大动能为3mgd

点评 带电粒子在电场中运动的问题，是电场知识和力学知识的综合应用，分析方法与力学分析方法基本相同，关键在于分析粒子的受力情况和运动情况．