Question

8．如图所示为放置在竖直平面内游戏滑轨的模拟装置，滑轨由四部分粗细均匀的金属杆组成，其中倾斜直轨AB与水平直轨CD长均为L=3m，圆弧形轨道APD和BQC均光滑，BQC的半径为r=1m，APD的半径为R=2m，AB、CD与两圆弧形轨道相切，O₂A、O₁B与竖直方向的夹角均为θ=37°．现有一质量为m=1kg的小球穿在滑轨上，以v₀的初速度从B点开始沿AB向上运动，小球与两段直轨道间的动摩擦因数均为μ=1/3，设小球经过轨道连接处均无能量损失．（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8），求：
（1）要使小球能通过圆弧形轨道APD的最高点，初速度v₀至少多大？
（2）若以题（1）中求得的最小初速度v₀从B点向上运动，小球刚能通过圆弧形轨道APD的最高点，求小球第一次到达Q点时对轨道的压力；
（3）若以题（1）中求得的最小初速度v₀从B点向上运动，小球刚能通过圆弧形轨道APD的最高点，计算说明小球能经过C点的次数．

Answer 1

分析 （1）小球穿在滑轨上，通过轨道APD的最高点时速度可以为零，根据动能定理求初速度v₀．
（2）球刚能通过圆弧形轨道APD的最高点时速度为零，根据动能定理求出小球第一次到达Q点时的速度，小球在Q点，由合力提供向心力，由牛顿运动定律求小球第一次到达Q点时对轨道的压力．
（3）小球在直轨道上运动时，由于克服摩擦而做功，其机械能要减少，根据功能关系分析小球经过C点的动能，确定小球能经过C点的次数．

解答 解：（1）因为小球穿在滑轨上，所以通过轨道APD的最高点时速度可以为0，小球由B点到圆轨道APD最高点的过程，根据动能定理得：
-mg[（R-Rcosθ）+Lsinθ]-μmgLcosθ=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入数值解得：v₀=2$\sqrt{15}$m/s；
（2）从B点出发到小球第一次回到Q点的过程中，根据动能定理得：
-μmgLcosθ-μmgL+mgrcosθ=$\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v_Q=2$\sqrt{10}$m/s
小球第一次到达Q点时，轨道对小球的支持力 N=m$\frac{{v}_{Q}^{2}}{r}$
解得 N=40N
根据牛顿第三定律知，小球第一次到达Q点时对轨道的压力为：
N′=N=40N
（3）当小球在B点以v₀=2m/s向上运动，再次回到B点时，损失的机械能为：
△E=μmgLcosθ+μmgL=μmgL（cosθ+1）=$\frac{1}{3}$×1×10×3×（cos37°+1）J=18J
小球在B点的初动能为：
E_k0=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×（2\sqrt{15}）^{2}$J=30J
再次回到B点时的动能为：
E_kB=E_k0-△E=$\frac{1}{2}×1×（2\sqrt{15}）^{2}$-18=12J
由于mgsinθ＞μmgcosθ，分析知，小球沿AB上升到某点后将下滑，第三次经过B点时动能小于12J，第二次经过C点时动能22J，小于30J，第三次经过C点时动能大于2J，小于10J，此后小球将无法再次回到B点，下滑后第四次经过C点，在未到D点时停止，所以小球能经过C点的次数为4次．
答：（1）要使小球能通过圆弧形轨道APD的最高点，初速度v₀至少为2$\sqrt{15}$m/s；
（2）小球第一次到达Q点时对轨道的压力是40N；
（3）小球能经过C点的次数为4次．

点评 本题过程较复杂，关键是理清过程，搞清运动规律，合适地选择研究的过程，运用动能定理和能量守恒定律进行解题．