Question

8．某天体的表面无大气层，其质量为地球质量的2倍，其半径为地球半径的2倍．已知地球表面附近的重力加速度为g=10m/s²，地球的第一宇宙速度为v=8×10³m/s，求：
（1）该天体表面附近的重力加速度g′．
（2）靠近该天体表面运行的人造卫星的运行速度v′．
（3）在该天体表面以15m/s初速竖直上抛一个小球，小球在上升过程的最末1s内的位移x．
（4）在距该天体表面高h=20m处，以v₀=5m/s初速斜向上抛出y一个小球，小球落到该天体表面时速度v″．

Answer 1

分析 （1）在星球表面，重力等于万有引力，据此列式求解重力加速度；
（2）靠近该天体表面运行的人造卫星，重力等于向心力，根据牛顿第二定律列式求解速度；
（3）竖直上抛运动是匀变速直线运动，根据速度公式列式求解运动总时间，根据位移公式列式求解最末1s内的位移x；
（4）根据动能定理列式求解末速度．

解答 解：（1）星球表面，重力等于万有引力，在地球表面：mg=$G\frac{Mm}{R^2}$，
在天体表面：mg′=$G\frac{2Mm}{{{{（2R）}^2}}}$，
联立解得：g′=$\frac{g}{2}$=5m/s²；
（2）靠近该天体表面运行的人造卫星，重力等于向心力，故：$mg′=m\frac{{v′}^{2}}{2R}$，
对地球表面的人造卫星，重力等于向心力，故：$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
故$\frac{v′}{v}=\sqrt{\frac{g′•2R}{g•R}}=\sqrt{\frac{\frac{g}{2}•2R}{g•R}}=1$，
故v′=v=8×10³m/s；
（3）在该天体表面以v₀=15m/s初速竖直上抛一个小球，加速度为-g′=-5m/s²，故运动的总时间为：t=$\frac{（-{v}_{0}）-{v}_{0}}{-g′}$=$\frac{（-15）-15}{-5}=6s$；
根据位移公式，前5s位移为：${x}_{前5s}={v}_{0}{t}_{5}-\frac{1}{2}g′{t}_{5}^{2}=15×5-\frac{1}{2}×5×{5}^{2}$=12.5m；
由于6s末落地，故第6s位移大小为12.5m，向下；
（4）对斜抛运动，根据动能定理，有：
mg′h=$\frac{1}{2}mv{″}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
解得：v″=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2g′h}$=$\sqrt{{5}^{2}+2×5×20}$=15m/s；
答：（1）该天体表面附近的重力加速度g′为5m/s²．
（2）靠近该天体表面运行的人造卫星的运行速度v′为8×10³m/s．
（3）在该天体表面以15m/s初速竖直上抛一个小球，小球在上升过程的最末1s内的位移x为12.5m，向下．
（4）在距该天体表面高h=20m处，以v₀=5m/s初速斜向上抛出一个小球，小球落到该天体表面时速度v″为15m/s．

点评 本题关键是根据万有引力定律列式求解星球表面重力加速度，利用卫星的万有引力提供向心力列式求解第一宇宙速度，对斜抛运动，只有重力做功，可以根据机械能守恒定律列式，也可以根据动能定理列式．