Question

13．一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P（a，0）点以速度v沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限，进入第二象限的匀强电场中，电场强度为E．不计粒子重力，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度的大小；
（2）带电粒子在磁场中的运动时间；
（3）带电粒子在电场中速度第一次为零时的坐标．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出磁感应强度．
（2）根据粒子在磁场中转过的圆心角与粒子做圆周运动的周期求出粒子在磁场中的运动时间．
（3）根据几何知识求得粒子射出点离O点的距离．粒子在电场中做匀减速直线运动，由匀变速直线运动的位移公式求出位移，然后答题．

解答 解：（1）设磁感应强度为B，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r．
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$ ①，
粒子运动轨迹如图所示，由几何知识得：r=$\frac{a}{cos30°}$ ②
由①②解得：B=$\frac{\sqrt{3}mv}{2qa}$   ③；
（2）设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T，则：T=$\frac{2πr}{v}$  ④
由图知，粒子在磁场中做圆周运动对应的圆心角为：θ=$\frac{2π}{3}$  ⑤
粒子在磁场中运动的时间：t=$\frac{θ}{2π}$T  ⑥
由②④⑤⑥解得：t=$\frac{4\sqrt{3}πa}{9v}$  ⑦；
（3）粒子离开磁场时，离O的距离为：y=r+rcos60°=$\sqrt{3}$a，
粒子在电场中做匀减速直线运动，x=$\frac{{v}^{2}}{2a}$=$\frac{{v}^{2}}{2×\frac{qE}{m}}$=$\frac{m{v}^{2}}{2qE}$，
粒子速度第一次为零时的坐标为（-$\frac{m{v}^{2}}{2qE}$，$\sqrt{3}$a）；
答：（1）匀强磁场的磁感应强度的大小为$\frac{\sqrt{3}mv}{2qa}$；
（2）带电粒子在磁场中的运动时间为：$\frac{4\sqrt{3}πa}{9v}$；
（3）带电粒子在电场中速度第一次为零时的坐标为（-$\frac{m{v}^{2}}{2qE}$，$\sqrt{3}$a）．

点评 本题考查了求粒子在磁场中的运动，考查了求磁感应强度、粒子的运动时间，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，应用牛顿第二定律、周期公式即可正确解题，解题时要注意几何知识的应用．