Question

18．质量m=1kg的小滑块（可视为点）放在质量M=3kg的长木板中央，木板放在光滑水平面上，木板与滑块之间摩擦系数μ=0.1，木板长L=1m．开始二者均静止，现用水平恒力F沿水平向右拉木板，如图所示，滑块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g=10m/s²，试求：
（1）为使滑块和木板以相同的速度一起滑动，力F应满足什么条件？
（2）用水平恒力F沿水平向右拉木板，要木板在0.5s时间从滑块下抽出，力F应多大？
（3）如用F=10N的水平力向右拉木板，将木板从滑块下拉出，求F的最短作用时间是多少？（结果用小数或根式表达均可）

Answer 1

分析 （1）先对整体运用牛顿第二定律求解加速度，在对滑块M根据牛顿第二定律列式，当m与M间的静摩擦力达到最大时，拉力达到最大值；
（2）对滑块和滑板分别运用牛顿第二定律表示出加速度，然后根据木板位移比滑块位移多$\frac{L}{2}$列式求解．
（3）F作用的过程中滑块和木板均做匀加速运动，撤去后滑块做匀加速运动，木板做匀减速运动，当m与M速度相等时，滑块刚能从木板上掉下来，根据牛顿第二定律和运动学公式求出F的最短作用时间；

解答 解：（1）设滑块与平板间的静摩擦力达到最大时拉力为F_m，根据牛顿第二定律，有：
对整体：F_m=（M+m）a
对木板：F_m-μmg=Ma
联立解得：F_m=4N；
故拉力F≤4N；
（2）木板加速度为：a₁=$\frac{F-μmg}{M}$=$\frac{F-1}{3}$；
滑块加速度为：a₂=$\frac{μmg}{m}$=$μg=1m/{s}_{\;}^{2}$；
木板位移为：${x}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{\;}^{2}$；
滑块位移为：x₂=$\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{\;}^{2}$；
其中木板位移比滑块位移多$\frac{L}{2}$，即：${x}_{1}^{\;}-{x}_{2}^{\;}=\frac{L}{2}$；
联立以上各式解得：F=16N，x₁=0.625m，x₂=0.125m；
（3）设力F作用于M上的时间为t₁，
对M：做初速度为零的平加速直线运动，加速度为：${a}_{1}^{\;}=\frac{F-μmg}{M}=\frac{10-1}{3}=3m/{s}_{\;}^{2}$，
对m：做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为：${a}_{2}^{\;}=μg=1m/{s}_{\;}^{2}$，
当撤出力F运动时间为t₂，
m受力不变，仍做匀加速直线运动，加速度还等于：${a}_{2}^{\;}=μg=1m/{s}_{\;}^{2}$，
对M：做匀减速直线运动，加速度为为：${a}_{3}^{\;}=\frac{μmg}{M}=\frac{1}{3}m/{s}_{\;}^{2}$
当m与M速度相等时，滑块刚能从木板上掉下来，得：a₂（t₁+t₂）=a₁t₁-${a}_{3}^{\;}{t}_{2}^{\;}$
$1×（{t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}）=3{t}_{1}^{\;}-\frac{1}{3}{t}_{2}^{\;}$
根据m与M的位移关系可得：
$\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}（{t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}）_{\;}^{2}+\frac{L}{2}=\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{2}$$+（{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}）{t}_{2}^{\;}-\frac{1}{2}{a}_{3}^{\;}{t}_{2}^{2}$
代入数据：$\frac{1}{2}×1×（{t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}）_{\;}^{2}+\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}×3{t}_{1}^{2}$+$3{t}_{1}^{\;}{t}_{2}^{\;}-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}{t}_{2}^{2}$
联立代入数据解得：t₁=$\frac{2\sqrt{5}}{5}s$．
答：（1）为使滑块和木板以相同的速度一起滑动，力F应满足不大于2N的条件；
（2）用水平恒力F沿板方向向右拉滑块，要使滑块在0.5s时间从木板右端滑出，力F应16N大；
（3）F的最短作用时间是$\frac{2\sqrt{5}}{5}$s．

点评 本题关键分别对滑块和滑板受力分析，求解出各自的加速度，然后根据运动学公式列式求解，不难．