Question

11．在一半径为R₁=6cm的金属球A外面套有一个同心的金属球壳B．已知球壳B的内、外半径分别为R₂=8cm，R₃=10cm．设球A带有总电荷Q_A=3×10^-8C，球壳B带有总电荷Q_B=2×10^-8C．求：
（1）球壳B内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势；
（2）将球壳B接地然后断开，再把金属球A接地，求金属球A和球壳B内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势．

Answer 1

分析 （1）导体处于静电平衡时，净电荷只分布在导体外表面．根据电荷守恒定律求电荷．由电势的叠加原理和电势公式求球A和球壳B的电势．
（2）导体接地时电势为零．球壳B接地后，外表面电荷与从大地流入的负电荷中和，电量为零．球壳内表面带电保持不变，为-Q_A，断开球壳B的接地后，再将球A接地，此时球A电势为零．电势变化将引起电荷重新分布，以保持导体静电平衡．再根据电势的叠加原理列式求解．

解答 解：（1）球A的带电量为 q₁=Q_A．设球壳B内外表面带电量分别为q₂和q₃．由高斯定理和电荷守恒可知：
球壳B内表面的带电量 q₂=-Q_A=-3×10^-8C
球壳B外表面的带电量 q₃=Q_A+Q_B=5×10^-8C
由电势的叠加得，球A和球壳B的电势分别为
  U_A=$\frac{{Q}_{A}}{4π?{\;}_{0}{R}_{1}}$+$\frac{-{Q}_{A}}{4π?{\;}_{0}{R}_{2}}$+$\frac{{Q}_{A}+{Q}_{B}}{4π?{\;}_{0}{R}_{3}}$=5.6×10³V
  U_B=$\frac{{Q}_{A}+{Q}_{B}}{4π?{\;}_{0}{R}_{3}}$=4.5×10³V
（2）导体接地，电势为零．球壳B接地后，外表面电荷与从大地流入的负电荷中和，电量为零．球壳内表面带电保持不

变，为-Q_A，（图b）．
断开球壳B的接地后，再将球A接地，此时球A电势为零．电势变化将引起电荷重新分布，以保持导体静电平衡．设此时球A带电q_A．

根据静电平衡时导体电荷分布规律，可知球壳B内表面感应电荷电量为-q_A，外表面电量为q_A-Q_A．
此时球A的电势可表示为
  U_A=$\frac{{q}_{A}}{4π{?}_{0}{R}_{1}}$+$\frac{-{q}_{A}}{4π{?}_{0}{R}_{2}}$+$\frac{{q}_{A}-{Q}_{A}}{4π{?}_{0}{R}_{3}}$=0
由U_A=0可解出球A所带的电荷 q_A=2.12×10^-8C
球壳B内表面感应电荷电量为-q_A=-2.12×10^-8C，外表面电量为q_A-Q_A=0.88×10^-8C．
再由带电球面电势的叠加，可求出三部分在球壳B激发的电势之和为
   U_B=$\frac{{q}_{A}}{4π{?}_{0}{R}_{2}}$+$\frac{-{q}_{A}}{4π{?}_{0}{R}_{2}}$+$\frac{{q}_{A}-{Q}_{A}}{4π{?}_{0}{R}_{3}}$=-7.92×10²V
答：
（1）球壳B内、外表面上所带的电荷分别为-3×10^-8C和5×10^-8C，球A和球壳B的电势分别为5.6×10³V和4.5×10³V．
（2）金属球A的电荷为2.12×10^-8C，球壳B内、外表面上所带的电荷分别为-2.12×10^-8C，0.88×10^-8C．球A和球壳B的电势分别为0和-7.92×10²V．

点评 解决本题的关键是理解并掌握静电平衡状态导体的特点，运用电势的叠加原理和电荷守恒定律结合解答．