Question

4．如图，一个质量为4m中间呈半球形空腔的滑块，静止放置在水平地面上，质量为m的质点从半球形空腔的边缘静止释放，忽略一切摩擦．
（1）若滑块固定，求质点滑到空腔最底部时的速率及其对滑块的正压力；
（2）若滑块不固定，求质点滑到空腔最底部时的速率及其对滑块的正压力．

Answer 1

分析 （1）若滑块固定，m下滑的过程中机械能守恒，由此即可求出质点滑到空腔最底部时的速率，由牛顿第二定律即可求出其对滑块的正压力；
（2）若滑块不固定，质点下滑的过程中，质点与滑块组成的系统水平方向动量守恒，同时系统的机械能守恒，由功能关系与动量守恒定律，结合牛顿第二定律即可求出滑到空腔最底部时的速率及其对滑块的正压力．

解答 解：（1）若滑块固定，质点下滑的过程中机械能守恒，设半圆轨道的半径为R，所以：
$mgR=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$   ①
得：v₀=$\sqrt{2gR}$
又：$\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}={F}_{N}-mg$   ②
联立①②得：F_N=3mg
根据牛顿第三定律，质点对对滑块的正压力是3mg；
（2）若滑块不固定，质点下滑的过程中，质点与滑块组成的系统水平方向动量守恒，选取向右为正方向，则滑块向左运动，质点m向右运动，所以：
mv₁+4m•v₂=0  ③
又由机械能守恒，得：
$mgR=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}•4m{v}_{2}^{2}$   ④
联立③④得：${v}_{1}=\sqrt{\frac{8}{5}gR}$
在最低点：${F}_{N}′-mg=\frac{m{v}_{1}^{2}}{R}$
联立得：${F}_{N}′=\frac{13}{5}mg$
根据牛顿第三定律，质点对滑块的正压力是$\frac{13}{5}mg$
答：（1）若滑块固定，质点滑到空腔最底部时的速率是$\sqrt{2gR}$，其对滑块的正压力是3mg；
（2）若滑块不固定，质点滑到空腔最底部时的速率是$\sqrt{\frac{8}{5}gR}$，其对滑块的正压力是$\frac{13}{5}mg$．

点评 本题考查了动量守恒定律和能量守恒定律的综合，知道当质点 在滑块的最低点时，质点与滑块的速度方向相反是解答的关键．