Question

如图所示，一对光滑的平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨间距L=0.5m，左端接有阻值R=0.3Ω的电阻，一质量m=0.1kg，电阻r=0.1Ω的金属棒MN放置在导轨上，整个装置置于竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B=0.4T，棒在水平向右的外力作用下，由静止开始以a=2m/s²的加速度做匀加速运动，当棒的位移x=9m时撤去外力，棒继续运动一段距离后停下来，已知撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比Q₁：Q₂=2：1，导轨足够长且电阻不计，棒在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，求：
（1）撤去外力时通过电阻R的电流大小；
（2）棒在匀加速运动过程中，通过电阻R的电荷量q；
（3）外力做的功W_F．

Answer 1

分析：（1）棒由静止开始以a=2m/s²的加速度做匀加速运动，根据运动学公式v²=2ax可求出撤去外力时棒的速度v，由E=BLv求出棒产生的感应电动势，由欧姆定律求解通过电阻R的电流大小；
（2）根据位移公式x=

1

2

at2求出时间．根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律、电量公式q=

.

I

t求解．
（3）根据功能关系可知，外力做的功W_F等于回路产生的内能之和．

解答：解：（1）设撤去外力时棒的速度为v，则由v²=2ax得：
  v=

2ax

=

2×2×9

m/s=6m/s
此时棒产生的感应电动势为  E=BLv=0.4×0.5×6V=1.2V
通过电阻R的电流大小为 I=

E

R+r

=

1.2

0.3+0.1

A=3A
（2）设棒匀加速运动所用时间为t，由x=

1

2

at2得：
   t=

2x a

=

2×9 2

s=3s
根据法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律求电路中产生的平均电流为
 

.

I

=

. E

R+r

=

△Φ

t(R+r)

=

BLx

t(R+r)

=

0.4×0.5×9

3×(0.3+0.1)

A=1.5A
根据电流定义式有：q=

.

I

t=1.5×3C=4.5C
（3）撤去外力后棒在安培力作用下做减速运动，安培力做负功先将棒的动能转化为电能，再通过电流做功将电能转化为内能，所以焦耳热等于棒的动能减少，有：
 Q₂=

1

2

mv2=

1

2

×0.1×62=1.8J
根据撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比Q₁：Q₂=2：1，则得撤去外力前的焦耳热为
  Q₁=2Q₂=3.6J
整个过程中，根据功能关系可知，外力做的功W_F等于回路产生的内能之和．则 W_F=Q₁+Q₂=3.6J+1.8J=5.4J
答：
（1）撤去外力时通过电阻R的电流大小是3A；
（2）棒在匀加速运动过程中，通过电阻R的电荷量q是4.5C；
（3）外力做的功W_F是5.4J．

点评：本题要抓住棒的运动情况：匀加速直线运动，运用力学和电磁感应两部分知识结合进行求解．