Question

如图甲所示，A、B为水平放置的平行金属板，板间距离为d（d远小于板的长和宽），在两板之间有一带负电的质点P．已知若在A、B间加电压U₀，则质点P可以静止平衡．

图　甲

　　现在A、B间加上如图乙所示的随时间t变化的电压U．在t=0时质点P位于A、B间的中点处且初速度为0．已知质点P能在A、B之间以最大的幅度上下运动而又不与两板相碰，求图13-37中U改变的各时刻t₁、t₂、t₃及t_n的表达式（质点开始从中点上升到最高点，及以后每次从最高点到最低点或从最低点到最高点的过程中，电压只改变一次）．

图　乙　

Answer 1

答案：见详解
解析：

设质点P的质量为m，电量大小为q，根据题意，当A、B间的电压为U0时，有 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ① 　　当两板间的电压为2U0时，P的加速度向上，其大小为a， 　　　　　　　　　　　　　　　　　② 　　解得a=g 　　当两板间的电压为0时，P自由下落，加速度为g，方向向下．在t=0时，两板间的电压为2U0，P自A、B间的中点向上作初速为零的匀加速运动，加速度为g．经过t1，P的速度变为v1，此时使电压变为0，让P在重力作用下做匀减速运动．再经过t′1，P正好到达A板且速度为0，故有 v1=gt1 0=v1-gt′1 　　由以上各式得 t1= 　　因为　t1=t1 　　得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③ 　　在重力作用下，P由A板处向下做匀加速运动．经过t2，速度变为v2，方向向下．这时加上电压使P做匀减速运动，经过t′2，P到达B板且速度为零，故有 v2=gt2 0=v2-gt′2 　　由以上各式得　　　　　　　　　　t2=t′2 　　因为　t2=t1+t′1+t2 　　得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　④ 　　在电场力与重力的合力作用下，P由B板处向上做匀加速运动，经过t3，速度变为v3，此时使电压变为0，让P在重力作用下做匀减速运动．经过t′3，P正好到达A板且速度为0，故有 v3=gt3 0=v3-gt′3 　　由以上各式得 　　 　　因为　t3=t2+t′2+t3 　　得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⑤ 　　根据上面分析，因重力作用，P由A板向下做匀加速运动，经过t2，再加上电压，经过t′2，P到达B且速度为0， 　　因为 t4=t3+t′3+t2 　　得　　 　　同样分析可得 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⑥