Question

9．2003年10月15日我国成功发射了载人飞船--“神舟五号”，标志着我国航天技术的发展达到世界先进水平，杨立伟成为我国第一位叩访太空的中国航天员（地球表面处的重力加速度为g=10m/s²，地球半径R=6400km，航天员的质量m=50kg）
（1）若飞船从地面上以a=5g的加速度竖直起飞，航天员杨立伟对坐垫的压力是多大？
（2）飞船沿离地面342km的圆形轨道运行，飞船绕地球14圈后安全返回地面，飞船在圆形轨道上运行的周期是多大？
（3）该圆形轨道处的重力加速度是多少？

Answer 1

分析 （1）航天员受到万有引力与坐垫的支持力作用，应用牛顿第二定律可以求出坐垫的支持力，然后由牛顿第三定律求出对坐垫的压力．
（2）飞船绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出飞船的周期．
（3）万有引力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出重力加速度．

解答 解：（1）对宇航员，由牛顿第二定律得：N-mg=ma，
解得：N=mg+ma=50×（10+50）N=3000N，
由牛顿第三定律可知，杨立伟对坐垫的压力是3000N；
（2）万有引力提供飞船做圆周运动的向心力，
由牛顿第二定律得：$\frac{GMm}{{{{（R+h）}^2}}}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}（R+h）$，解得：${T^2}=\frac{{4{π^2}{{（R+h）}^3}}}{GM}$，
设地球表面有一质量为m'的物体，其所受的万有引力等于重力，所以有$\frac{GMm'}{R^2}=m'g$，故有：GM=R²g，
周期：$T=2π\sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{GM}}=2π\sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{{{R^2}g}}}=2π\sqrt{\frac{{{{（6.4×{{10}^6}+3.42×{{10}^5}）}^3}}}{{{{（6.4×{{10}^6}）}^2}×10}}}s=5432s$；
（3）由牛顿第二定律得：$\frac{GMm}{{{{（R+h）}^2}}}=mg'$，解得：$g'=\frac{GM}{{{{（R+h）}^2}}}=\frac{{{R^2}g}}{{{{（R+h）}^2}}}=\frac{{{{（6.4×{{10}^6}）}^2}×10}}{{{{（6.4×{{10}^6}+3.42×{{10}^5}）}^2}}}m/{s^2}=9m/{s^2}$；
答：（1）若飞船从地面上以a=5g的加速度竖直起飞，航天员杨立伟对坐垫的压力是3000N．
（2）飞船沿离地面342km的圆形轨道运行，飞船绕地球14圈后安全返回地面，飞船在圆形轨道上运行的周期是5432s．
（3）该圆形轨道处的重力加速度是9m/s²．

点评 本题考查了万有引力定律的应用，知道万有引力提供向心力，应用万有引力公式与牛顿第二定律即可解题，解题时要注意“黄金代换”的应用，本题计算量较大，计算时要认真细心．