Question

如图所示，由粗细相同的导线制成的正方形线框边长为L，每条边的电阻均为R，其中ab边材料的密度较大，其质量为m，其余各边的质量均可忽略不计．线框可绕与cd边重合的水平轴OO′自由转动，不计空气阻力及摩擦．若线框在方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中从水平位置静止释放，经历时间t到达竖直位置，此时ab边的速度为v，重力加速度为g，求：
（1）线框在竖直位置时，ab边两端的电压及所受的安培力的大小；
（2）在这一过程中，通过线框导线横截面的电荷量；
（3）在这一过程中，线框中感应电动势的有效值．

Answer 1

分析：（1）根据切割产生的感应电动势公式求出电动势，根据闭合电路欧姆定律求出ab两端的电压，以及电流的大小，通过安培力大小公式求出安培力的大小．
（2）根据法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律求出平均电流，从而求出通过线框导线横截面的电荷量．
（3）根据能量守恒定律求出整个过程中的热量，抓住克服克服力做功等于产生的热量求出感应电流做的功，以及通过热量的公式求出感应电动势的有效值．

解答：解：（1）线框运动到竖直位置时，ab边切割磁感线产生感应电动势为：
E=BLv
ab两端的电压为：
U=

BLv

4R

×3R=

3

4

BLv
ab边所受安培力为：
F=BIL=B

BLv

4R

L=

B2L2v

4R

（2）通过导线横截面的电荷量为：
q=

.

It

线框中的平均电流为：

.

I

=

. E

4R

线框中的平均感应电动势为：

.

E

=

△?

t

=

BL2

t

联立解得：q=

BL2

4R

（3）线框下落过程中机械能的减少等于线框中产生的焦耳热，所以有：
Q=mgL-

1

2

mv2=

E 2 有

4R

t
根据焦耳定律有：Q=

E 2 有

4R

t
解得：E有=

4R(mgl- 1 2 mv2) t

答：（1）线框在竖直位置时，ab边两端的电压为

3

4

BLv，所受的安培力的大小为

B2L2v

4R

；
（2）在这一过程中，通过线框导线横截面的电荷量为

BL2

4R

；
（3）在这一过程中，线框中感应电动势的有效值为E有=

4R(mgl- 1 2 mv2) t

．

点评：解决本题的关键掌握瞬时感应电动势和平均感应电动势的求法，以及知道它们的区别．