Question

18．某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理图如图所示．装置的长L=2$\sqrt{3}d$，上下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小相同、方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为d，装置右端有一收集板，N、P为板上的两点，N、P分别位于下方磁场的上、下边界上．一质量为m、电荷量为-q的粒子静止在A处，经加速电场加速后，以速度v₀沿图中的虚线从装置左端的中点O射入，方向与轴线成60°角．可以通过改变上下矩形区域内的磁场强弱（两磁场始终大小相同、方向相反），控制粒子到达收集板上的位置．不计粒子的重力．
（1）试求出加速电压U的大小；
（2）若粒子只经过上方的磁场区域一次，恰好到达收集板上的P点，求磁场区域的宽度h；
（3）欲使粒子经过上下两磁场并到达收集板上的N点，磁感应强度有多个可能的值，试求出其中的最小值B．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中加速，应用动能定理可以求出加速电压．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，作出粒子运动轨迹，然后应用几何知识求出磁场区域的宽度h．
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，作出粒子运动轨迹应用几何知识求出粒子的轨道半径，然后应用牛顿第二定律求出磁感应强度．

解答 解：（1）粒子在电场中加速，由动能定理得：
qU=$\frac{1}{2}$mv₀²-0，
解得：U=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2q}$；
（2）设带电粒子在磁场中运动的轨道半径为r，依题意作出带电粒子的运动轨迹如下图所示．

由图中几何关系有：L=3rsin60°+3×$\frac{\frac{d}{2}}{tan60°}$，
h=r（1-cos60°），
解得：h=$\frac{1}{2}$d；
（3）当B为最小值时，粒子运动的轨道半径r则为最大值，即粒子只经过上方和下方的磁场区域各一次，
恰好到达收集板上的N点．设带电粒子此时运动的轨道半径为r′，带电粒子的运动轨迹如下图所示．

由图中几何关系有：L=4r′sin60°+3×$\frac{\frac{d}{2}}{tan60°}$，
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r′}$，
解得：B=$\frac{4m{v}_{0}}{3qd}$；
答：（1）加速电压U的大小为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2q}$；
（2）磁场区域的宽度h为$\frac{1}{2}$d；
（3）最小值B为$\frac{4m{v}_{0}}{3qd}$．

点评 本题考查带电粒子在磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹是解题的前提，在解题时要注意认真审题，明确题意才能准确利用洛仑兹力充当向心力及几何关系进行求解．