Question

6．如图所示，光滑且足够长的平行金属导轨MN和PQ固定在同一水平面上，两导轨间距离L=0.2m，电阻R₁=0.4Ω，导轨上静止放置一质量m=0.1kg，电阻R₂=0.1Ω的金属杆ab，导轨电阻忽略不计，整个装置处在磁感应强度B₁=0.5T的匀强磁场中，磁场的方向竖直向下，现用一外力F沿水平方向拉杆ab，使之由静止开始运动，最终以8m/s的速度做匀速直线运动．若此时闭合开关S，释放的α粒子经加速电场C加速从d孔对着圆心O进入半径r=$\sqrt{3}m$的固定圆筒中（筒壁上的小孔d只能容一个粒子通过），圆筒内有垂直水平面向下的磁感应强度为B₂的匀强磁场，α粒子每次与筒壁发生碰撞均无电荷迁移，也无机械能损失．（α粒子质量m≈6.4×10^-27kg，电荷量q=3.2×10^-19C）．求：
（1）ab杆做匀速直线运动过程中，外力F的功率；
（2）若α粒子与圆筒壁碰撞5次后恰又从d孔背离圆心射出，忽略α粒子进入加速电场的初速度，求磁感应强度B₂．

Answer 1

分析 （1）ab杆做匀速直线运动过程中，外力F与安培力二力平衡，推导出安培力表达式，即可求得外力的大小，由P=Fv求出功率．
（2）根据欧姆定律求出加速电场的电压，由动能定理求出α粒子进入磁场的速度．若α粒子与圆筒壁碰撞5次后恰又从a孔背离圆心射出，则粒子与圆筒的碰撞点和a点将圆筒6等分，根据几何关系求出轨迹半径，由牛顿第二定律求磁感应强度B₂．

解答 解：（1）当ab杆匀速运动时，F_外=F_B   ①
F_B=B₁IL   ②
I=$\frac{E}{{R}_{1}+{R}_{2}}$③
E=B₁L v     ④
P=F_外v       ⑤
联立①～⑤得P=$\frac{{B}_{1}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$ ⑥
将已知条件代入上式得P=1.28W
（2）此时回路电流强度为 I=$\frac{E}{{R}_{1}+{R}_{2}}$
加速电场的电压为 U=IR₁ 
根据动能定理：q_αU=$\frac{1}{2}$m_αv²-0
α粒子从a孔进入磁场的速度 v=$\sqrt{\frac{2{q}_{α}U}{{m}_{α}}}$
由题意知：α粒子与圆筒壁碰撞5次后从a孔离开磁场，
由几何关系求得∠d O b=60°
轨迹半径R'=$\frac{\sqrt{3}}{3}$r=1.0 m
又 qαvB₂=m_α $\frac{{v}^{2}}{R′}$
解得：B₂=1.6×10^-4 T
答：
（1）ab杆做匀速直线运动过程中，外力F的功率为1.28W；
（2）磁感应强度B₂为1.6×10^-4T．

点评 本题中金属杆的运动与汽车恒定功率起动类似，要会用动力学方法分析杆的运动情况．对于第2问，还可以研究带电粒子与圆筒碰撞n次的情况．