Question

19．如图所示，两条平行的金属导轨相距L=1m，金属导轨的倾斜部分与水平方向的夹角为37°，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中．金属棒MN和PQ的质量均为m=0.2kg，电阻分别为R_MN=1Ω和R_PQ=2Ω．MN置于水平导轨上，与水平导轨间的动摩擦因数μ=0.5，PQ置于光滑的倾斜导轨上，两根金属棒均与导轨垂直且接触良好．从t=0时刻起，MN棒在水平外力F₁的作用下由静止开始以a=1m/s²的加速度向右做匀加速直线运动，PQ则在平行于斜面方向的力F₂作用下保持静止状态．t=3s时，PQ棒消耗的电功率为8W，不计导轨的电阻，水平导轨足够长，MN始终在水平导轨上运动．求：
（1）磁感应强度B的大小；
（2）0～3s时间内通过MN棒的电荷量；
（3）若改变F₁的作用规律，使MN棒的运动速度v与位移x满足关系：v=0.4x，PQ棒仍然静止在倾斜轨道上．求MN棒从静止开始到x=5m的过程中，系统产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）MN向右运动切割磁感线产生感应电动势，相当于电源，PQ相当于外电路．要求PQ消耗的功率，要先MN产生的感应电动势，由欧姆定律求出电路中电流，即可求得磁感应强度．
（2）先由运动学位移公式求出t=3.0s时间内棒MN通过的位移，从而确定出穿过回路MNQP磁通量的变化量△φ，由法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电流的定义式推导出电量表达式q=$\frac{△φ}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}$，即可求解通过PQ的电量．
（3）由题v=0.4s，速度v与位移s成正比，可知电流I、安培力也与位移s成正比，可安培力的平均值求解安培力做的功，再功能关系即可求出系统产生的焦耳热．

解答 解：（1）当t=3 s时，设MN的速度为v₁，则
v₁=at=3 m/s
E₁=BLv₁
E₁=I（R_MN+R_PQ）
P=I²R_PQ
代入数据得：B=2 T．
（2）t=0～3.0s时间内金属棒MN运动的位移为：
s=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×{3}^{2}$m=4.5m                                            
t=0～3.0s时间内穿过回路MNQP磁通量的变化量：
△φ=B₁Ls=2×1×4.5Wb=9 Wb                                     
t=0～3.0s时间内通过PQ棒的电荷量为：
q=$\overline{I}$•t=$\frac{\overline{E}}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}$•t=$\frac{△φ}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}$=$\frac{9}{1+2}$C=3C 
（3）MN棒做变加速直线运动，当x=5 m时，v=0.4x=0.4×5 m/s=2 m/s
因为速度v与位移x成正比，所以电流I、安培力也与位移x成正比
安培力做功W_安=-$\frac{1}{2}$BL•$\frac{BLv}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}$•x
代入数据得：W_安=-6.67 J
所以：Q=-W_安=6.67 J．
答：（1）磁感应强度B的大小是2T；
（2）0～3s时间内通过MN棒的电荷量是3C；
（3）MN棒从静止开始到x=5m的过程中，系统产生的焦耳量是6.67J．

点评 本题是双杆类型，分别研究它们的情况是基础，运用力学和电路、电磁感应的规律研究MN棒，其中对于感应电荷量，要熟悉一般表达式q=$n\frac{△φ}{R+r}$，知道△φ与棒的位移有关．对于功，动能定理是常用的求解方法，本题关键要抓住安培力与位移是线性关系，安培力的平均值等于初末时刻的平均值．