Question

20．如图所示，曲线Ⅰ是一颗绕地球做圆周运动卫星轨道的示意图，其半径为R；曲线Ⅱ是一颗绕地球椭圆运动卫星轨道的示意图，O点为地球球心，AB为椭圆的长轴，两轨道和地心都在同一平面内，己知在两轨道上运动的卫星的周期相等，万有引力常量为G，地球质量为M，下列说法正确的是（　　）

• A． 椭圆轨道的长轴长度为2R
• B． 卫星在Ⅰ轨道的速率为v₀，卫星在Ⅱ轨道B点的速率为v_B，则v₀＞v_B
• C． 卫星在Ⅰ轨道的加速度大小为a₀，卫星在Ⅱ轨道A点加速度大小为a_A，则a₀＜a_A
• D． 若OA=0.5R，则卫星在B点的速率v_B＞$\sqrt{\frac{2GM}{3R}}$

Answer 1

分析 根据开普勒定律比较长轴与R的关系，根据万有引力的大小，通过牛顿第二定律比较加速度，结合速度的大小比较向心加速度的大小．

解答 解：A、根据题意，卫星在两轨道上运动的卫星的周期相等，根据开普勒第三定律$\frac{{R}_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}}=k$，知圆轨道的半径R和椭圆轨道的半长轴相等，所以椭圆轨道的长轴长度为2R，故A正确；
B、设卫星在虚线圆轨道上的速度为${v}_{1}^{\;}$，由虚线圆轨道进入椭圆轨道速度减小，所以${v}_{1}^{\;}＞{v}_{B}^{\;}$，根据$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$知${v}_{0}^{\;}＞{v}_{1}^{\;}$，所以${v}_{0}^{\;}＞{v}_{B}^{\;}$，故B正确；
C、根据$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=ma$，得$a=\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$，轨道Ⅰ半径大于轨道Ⅱ的A点到O点距离，所以${a}_{0}^{\;}＜{a}_{A}^{\;}$，故C正确；
D、若OA=0.5R，则OB=1.5R，人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，如果卫星以OB为轨道半径做匀速圆周运动，则$v=\sqrt{\frac{2GM}{3R}}$，在Ⅱ轨道上，卫星在B点要减速，做近心运动，所以卫星在B点的速度
${v}_{B}^{\;}＜\sqrt{\frac{2GM}{3R}}$，故D错误；
故选：ABC

点评 本题考查万有引力定律、开普勒第三定律、牛顿第二定律等知识，知道卫星变轨的原理是解决本题的关键．