Question

5．天文学家在进行天文观测的时候，发现了一颗行星在围绕某颗恒星公转．已知引力常量为G，行星的公转周期为T，恒星的半径为R，行星的公转轨道半径为r，求：
（1）恒星的质量；               
（2）恒星的密度（球的体积公式V=$\frac{4π{R}^{3}}{3}$，其中R为球的半径）．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力等于向心力求出恒星的质量；
（2）根据密度公式求出恒星的质量；

解答 解：（1）根据万有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
解得恒星的质量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）根据密度公式$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3π{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$
答：（1）恒星的质量为$\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$；               
（2）恒星的密度$\frac{3π{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$

点评 本题根据万有引力提供圆周运动向心力展开讨论，要知道已知旋转天体的轨道半径和周期，可求得中心天体的质量．