Question

16．如图所示，固定在竖直平面内的光滑绝缘半圆环的两端点A、B，分别安放两个电荷量均为+Q 的带电小球，A、B 连线与水平方向成30°角，在半圆环上穿着一个质量为m、电荷量为+q的小球．已知半圆环的半径为R，重力加速度为g，静电力常量为k，将小球从A 点正下方的C 点由静止释放，当小球运动到最低点D 时，求：
（1）小球的速度大小；
（2）小球对轨道的作用力．

Answer 1

分析 （1）由动能定理，结合几何关系与静电场的知识，即可求解；
（2）根据库仑定律，结合几何关系，及牛顿第二、三定律，即可求解．

解答 解：（1）由静电场知识和几何关系，可知，C、D两点电势相等，
小球由C运动到D的过程中，则有：mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
由几何关系，可知，h=$\frac{R}{2}$
解得：v=$\sqrt{gR}$
（2）小球运动到D点时，则有：AD=$\sqrt{3}$R，BD=R，
小球分别受到A、B两点电荷的作用力为：
${F}_{A}=k\frac{Qq}{3{R}^{2}}$；F_B=k$\frac{Qq}{{R}^{2}}$
设圆弧轨道对小球的支持力为F_N，则有：F_N-F_Acos30°-F_Bsin30°-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由牛顿第三定律，小球对轨道的压力为F_N′=F_N，
解得：F_N′=$\frac{3+\sqrt{3}}{6}\frac{kQq}{{R}^{2}}$+2mg，方向竖直向下．
答：（1）小球的速度大小$\sqrt{gR}$；
（2）小球对轨道的作用力大小$\frac{3+\sqrt{3}}{6}\frac{kQq}{{R}^{2}}$+2mg，方向竖直向下．

点评 考查动能定理与牛顿运动定律的应用，掌握几何关系的内容，及理解库仑定律的运用．