Question

1．如图所示，一轻绳长为L，下端拴着质量为m的小球（可视为质点），当球在水平面内做匀速圆周运动时，绳与竖直方向间的夹角为θ，已知重力加速度为g，求：
（1）绳的拉力大小F；
（2）小球运动的线速度v的大小；
（3）小球运动的角速度ω及周期T．

Answer 1

分析 （1）小球在水平面内做匀速圆周运动，小球所受的重力和拉力的合力提供圆周运动的向心力，根据力的合成求解绳的拉力大小；
（2）根据mgtanθ=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，求出小球的线速度；
（3）根据线速度与角速度、周期的关系求出角速度和周期．

解答 解：（1）以球为研究对象，受力分析如图所示，由平衡条件Fcosθ=mg，
得：F=$\frac{mg}{cosθ}$．
（2）由牛顿第二定律：mgtanθ=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
其中r=Lsinθ，
得：v=$\sqrt{gLtanθsinθ}$，
（3）角速度为：$ω=\frac{v}{r}$=$\sqrt{\frac{v}{Lcosθ}}$=$\sqrt{\frac{\sqrt{gLtanθsinθ}}{Lcosθ}}$，
周期为：T=$\frac{2π}{ω}$=2π$\sqrt{\frac{Lcosθ}{\sqrt{gLtanθsinθ}}}$．
答：（1）绳的拉力大小F为$\frac{mg}{cosθ}$；
（2）小球运动的线速度v的大小为$\sqrt{gLtanθsinθ}$；
（3）小球运动的角速度ω为$\sqrt{\frac{\sqrt{gLtanθsinθ}}{Lcosθ}}$，周期为2π$\sqrt{\frac{Lcosθ}{\sqrt{gLtanθsinθ}}}$．

点评 解决本题的关键知道小球所受的重力和拉力的合力提供圆周运动的向心力．小球在竖直方向上平衡，即拉力在竖直方向的分力等于重力．