Question

5．如图所示，M是半径R=0.9m的固定于竖直平面内的$\frac{1}{4}$光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平，轨道下端竖直相切处放置竖直向上的弹簧枪，弹簧枪可发射速度不同的质量m=0.20kg的小钢珠．假设某次发射的小钢珠沿轨道内壁恰好能从M上端水平飞出，落至距M下方h=0.8m平面时，又恰好能无碰撞地沿圆弧切线从A点切入一光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑．A、B为圆弧轨道两端点，其连线水平，圆弧半径r=1m，圆心角θ=53°，小钢珠运动过程中阻力不计，g取l0m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．求：
（1）发射小钢珠前，弹簧枪弹簧的弹性势能E_P；
（2）从M上端飞出到A点的过程中，小钢珠运动的水平距离s，
（3）小钢珠运动到AB圆弧轨道最低点时对轨道的压力大小．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出圆弧最高点的速度，根据能量守恒得出弹簧的弹性势能．
（2）根据高度求出平抛运动的时间，结合初速度和时间求出水平距离．
（3）根据机械能守恒得出O点的速度，结合牛顿第二定律求出在O点的支持力，通过牛顿第三定律求出小钢珠运动到AB圆弧轨道最低点时对轨道的压力大小．

解答 解：（1）小钢珠沿轨道内壁恰好能从M上端水平飞出，
根据mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$得，v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.9}$m/s=3m/s，
发射小钢珠前，弹簧枪弹簧的弹性势能${E}_{p}=mgR+\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$2×0.9+\frac{1}{2}×0.2×9J$=2.7J．
（2）从M上端飞出到A点的过程中，做平抛运动，
根据平抛运动的规律得：$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}s=0.4s$，
水平距离s=vt=3×0.4m=1.2m．
（3）将A点速度分解：v_x=v=3m/s
v_y=gt=10×0.4m/s=4m/s．
根据平行四边形定则得，${v}_{A}=\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt{9+16}$m/s=5m/s，
由机械能守恒得：$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}+mg（r-rcosθ）$=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
在O点进行受力分析，由牛顿第二定律得：$N-mg=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$，
代入数据解得：N=8.66N
由牛顿第三定律得：小钢珠运动到AB圆弧轨道最低点时对轨道的压力大小为8.66N．
答：（1）发射小钢珠前，弹簧枪弹簧的弹性势能为2.7J；
（2）从M上端飞出到A点的过程中，小钢珠运动的水平距离s为1.2m，
（3）小钢珠运动到AB圆弧轨道最低点时对轨道的压力大小为8.66N．

点评 本题将圆周运动和平抛有机的结合在一起，考察了学生对两种运动形式的理解应用以及动能定理的应用，综合性较强，解决这类复杂问题时，要善于根据所学知识把复杂问题分解为简单问题，然后根据所学物理规律一步步求解．