Question

4．如图所示，一束水平入射的单色光照射到折射率为n=$\frac{5}{3}$的半玻璃球（半径为R=1m）上，在离球心O点2R处有一竖直的光屏，求此时光屏上光斑的面积．

Answer 1

分析 作出光路图，设D点为发生全反射的临界点，结合sinC=$\frac{1}{n}$以及几何关系，求出光屏上圆形光斑的面积．

解答 解：设光屏上光斑的半径为r．
如图所示，光线入射到D点时恰好发生全反射，有 sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{3}{5}$，cosC=$\frac{4}{5}$，tanC=$\frac{3}{4}$
由几何关系有：OF=$\frac{OD}{cosC}$=$\frac{R}{\sqrt{1-si{n}^{2}C}}$=$\frac{nR}{\sqrt{{n}^{2}-1}}$=$\frac{\frac{5}{3}×1}{\sqrt{（\frac{5}{3}）^{2}-1}}$=$\frac{5}{4}$m
又因为OF+O′F=2R，得 O′F=$\frac{3}{4}$
则光斑的半径为 r=$\frac{O′F}{tanC}$=1m，此时光屏上光斑的面积为 S=πr²=3.14m²．
答：此时光屏上光斑的面积为3.14m²．

点评 考查学生几何知识解决光学问题的能力．对于几何光学问题，对数学的几何能力要求较高，要加强训练．