题目内容

4．如图所示是在竖直平面内，由斜面和圆形轨道分别与水平面相切连接而成的光滑轨道，圆形轨道的半径为R．质量为m的小物块从斜面上距水平面高为h=2.5R的A点由静止开始下滑，物块通过轨道连接处的B、C点时，无机械能损失．求：
（1）小物块通过B点时速度vB的大小；
（2）小物块通过圆形轨道最低点C时，轨道对物块的支持力FN的大小；
（3）通过计算判断小物块能否通过圆形轨道的最高点D？

分析 （1）小物块从A点运动到B点的过程中，据机械能守恒定律求解．（2）据物块的运动情况和牛顿第二定律求解．（3）据机械能守恒求出最高点的速度，再与最高点的临界速度相比较即可判断．

解答 解：（1）小物块从A点运动到B点的过程中，由机械能守恒得：
mgh=$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$   
解得：vB=$\sqrt{5gR}$．
（2）小物块从B至C做匀速直线运动则有：vC=vB=$\sqrt{5gR}$
小物块通过圆形轨道最低点C时：
FN-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
代入数据解得：FN=6mg．
（3）若小物块能从C点运动到D点，由动能定理得：
-mg•2R=$\frac{1}{2}$m${v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{C}^{2}$  
解得：vD=$\sqrt{gR}$
设小物块通过圆形轨道的最高点的最小速度为vD1，
mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
解得：vD1=$\sqrt{gR}$=vD
可知小物块恰能通过圆形轨道的最高点．
答：1）小物块通过B点时速度vB的大小为$\sqrt{5gR}$．；
（2）小物块通过圆形轨道最低点C时，轨道对物块的支持力FN的大小5mg；
（3）小物块恰能通过圆形轨道的最高点D．

点评 此题是动力学问题，解题思路清晰，利用动能定理或机械能守恒定律即可求解；注意圆周运动模型的综合应用，灵活应用临界条件判断是否通过最高点．

练习册系列答案
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