题目内容
2．设质量为m的地球卫星正绕着地球沿半径为r0的圆形轨道运动．（1）若地球卫星的机械能为E、动能为Ek，地球质量为M，万有引力恒量为G．已知与地球相距为r0的地球卫星的引力势能EP=-$\frac{GMm}{{r}_{0}}$，试证明E=-Ek=-$\frac{GMm}{2{r}_{0}}$．
（2）若卫星运动受到微弱的摩擦阻力f（常量）作用，使卫星轨道半径r逐渐变小而接近地球．已知卫星运动一周，轨道半径的减小量△r?r．试证明：卫星运动一周，①轨道半径减小量△r与轨道半径r的3次方成正比；②速率增量△v与轨道半径r的$\frac{2}{3}$次方成正比．
分析 （1）对卫星来讲，万有引力提供向心力，结合在地球表面万有引力约等于重力求动能，动能加重力势能等于机械能，根据题意求机械能．
（2）由动能定理写出机械能的变化量，然后结合（1）的结论即可证明△r与轨道半径r的3次方成正比；结合（1）中的v2=$\frac{GM}{{r}_{0}}$与动能的表达式即可证明．
解答 证明：（1）根据题意，卫星机械能E=EP+EK，其中EP=-$\frac{GMm}{{r}_{0}}$，EK=$\frac{1}{2}$mv2，
卫星做圆周运动时万有引力提供向心力，得：$\frac{m{v}^{2}}{{r}_{0}}=\frac{GMm}{{r}_{0}^{2}}$
得：v2=$\frac{GM}{{r}_{0}}$，E=$\frac{GMm}{2{r}_{0}}-\frac{GMm}{{r}_{0}}$=$-\frac{GMm}{2{r}_{0}}$．
（2）①运动一周后，阻力做功使机械能减少，即
f×2πr=-△E=$\frac{GMm}{2}$$•（\frac{1}{r+△r}-\frac{1}{r}）$，
因为△r?r，得△r=-$\frac{4πf{r}^{3}}{GMm}$，
即：|△r|∝r3．
②由卫星做圆周运动时万有引力提供向心力，得：$\frac{m{v}^{2}}{{r}_{0}}=\frac{GMm}{{r}_{0}^{2}}$
得：v2=$\frac{GM}{{r}_{0}}$，
$△{E}_{k}=\frac{1}{2}m（v+△v）^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
因为△r?r，所以：△v=$\frac{\sqrt{GMm}}{2\root{3}{r}}•△r$，
得出：△v∝${r}^{\frac{2}{3}}$．
证毕
点评 本题考查了万有引力定律与功能关系等知识的综合，难度较大，难点在于能够正确地建立物理模型．
能力评价系列答案
唐印文化课时测评系列答案
导学与测试系列答案| A． | 只有厚度均匀的薄膜，才会发生干涉现象 | |
| B． | 只有厚度不均匀的楔形薄膜，才会发生干涉现象 | |
| C． | 厚度均匀的薄膜会形成干涉条纹 | |
| D． | 观察肥皂液膜的干涉现象时，观察者应和光源在液膜的同一侧 |
| A． | $\frac{F}{2}$ | B． | $\frac{F}{3}$ | C． | $\frac{F}{4}$ | D． | $\frac{F}{9}$ |
| A． | 物体的机械能增加了36J | B． | 合外力做功4J | ||
| C． | 物体的重力势能增加了40J | D． | 物体的动能增加 36J |
5月25日傍晚，一场雨后北京的天空中出现了“双彩虹”的美丽景色．我们所说的“双彩虹”实际上就是虹和霓，虹和霓是太阳光在水珠内分别经过一次和两次反射后出射形成的，我们可利用白光照射玻璃球的实验来模拟说明．现用两束平行白光照射到透明玻璃球后，在水平的白色桌面上会形成MN和PQ两条彩色光带，光路如图所示，M、N、P、Q点的颜色分别为（ ）| A． | 紫、红、红、紫 | B． | 红、紫、红、紫 | C． | 红、紫、紫、红 | D． | 紫、红、紫、红 |
| A． | 运动员与蹦床接触的时间为t4-t2 | |
| B． | 在t1或t4时刻，运动员受到蹦床的弹力最大 | |
| C． | 在t2或t4时刻，运动员的加速度为零 | |
| D． | 在t3时刻，运动员受到蹦床的弹力最大 |
| A． | 先有作用力，才有反作用力 | |
| B． | 只有两物体处于平衡状态时，作用力和反作用力才大小相等 | |
| C． | 只有两个物体质量相同时，作用力和反作用力才大小相等 | |
| D． | 以上说法都不正确 |
| A． | 物质是由大量分子组成的 | |
| B． | 分子在永不停息地做无规则运动 | |
| C． | 分子间有相互作用的引力或斥力 | |
| D． | 分子动理论是在一定实验基础上提出的 |