Question

20．光滑的水平轨道上的一列火车共有n节相同的车厢，n＞2，各车厢之间间隙相等，间隙长度的总和为a，第一节车厢以速度v₀向第二节车厢运动，碰撞后两车厢不分开，…直到n节车厢全部运动，则货车最后的速度为$\frac{v}{n}$；从第一次碰撞开始到最后一次碰撞结束的时间为$\frac{na}{2v}$．

Answer 1

分析 （1）、n节车厢运动、碰撞中，系统所受外力之和为零，由动量守恒求解
（2）、根据碰撞后连接在一起的车厢的速度规律和位移关系求出整个过程经历的时间．

解答 解：n节车厢运动、碰撞中，系统所受外力之和为零，由动量守恒，
有mv=nmv_n
解得：${v}_{n}=\frac{v}{n}$
设每两节相邻车厢间距为s，则有：$s=\frac{a}{n-1}$
碰撞后连接在一起的车厢节数依次为2节、3节…（n-1）节，
它们的速度相应为$\frac{v}{2}、\frac{v}{3}、\frac{v}{4}$…，所以火车的最后速度为$\frac{v}{n}$
由x=vt得：通过各间距的时间分别为：
${t}_{1}=\frac{s}{v}=\frac{a}{（n-1）v}$、${t}_{2}=\frac{s}{\frac{v}{2}}=\frac{2a}{（n-1）v}$、${t}_{3}=\frac{s}{\frac{v}{3}}=\frac{3a}{（n-1）v}$…${t}_{n-1}=\frac{s}{\frac{v}{n-1}}=\frac{（n-1）a}{（n-1）v}$
整个过程经历的时间为：
t=t₂+t₃+…+t_n-1
=\frac{2a}{（n-1）v}+…+\frac{（n-1）a}{（n-1）v}$
=$\frac{a}{（n-1）v}（2+3+…+n-1）$
=$\frac{a}{（n-1）v}\frac{（n_-1）（2+n-1）}{2}$
=$\frac{（n+1）a}{2v}$
故答案为：$\frac{v}{n}$；$\frac{（n+1）a}{2v}$．

点评 解决该题关键要应用动量守恒定律与运动位移与速度关系求解，应用动量守恒定律解题时，要注意过程的选择与研究对象的选择．