Question

10．在如图所示xoy坐标系第一象限的三角形区域（坐标如图中所标注3a和$\sqrt{3}$a）内有垂直于纸面向外的匀强磁场，在x 轴下方有沿+y方向的匀强电场，电场强度为E．将一个质量为m、带电量为+q的粒子（重力不计）从P（0，-a）点由静止释放．由于x轴上存在一种特殊物质，使粒子每经过一次x轴后（无论向上和向下）速度大小均变为穿过前的$\frac{\sqrt{2}}{2}$倍．
（1）欲使粒子能够再次经过x轴，磁场的磁感应强度B₀最小是多少？
（2）在磁感应强度等于第（1）问中B₀的情况下，求粒子在磁场中的运动时间．

Answer 1

分析 （1）粒子进入磁场后的轨迹圆与磁场边界相切时，磁感应强度最小为B₀．由几何知识求出半径，然后由牛顿第二定律确定磁场强度；
（2）画出粒子的运动轨迹，由t=$\frac{θ}{2π}$T求运动时间之和．

解答 解：（1）设粒子到O点时的速度为v₀，
由动能定理得：qEa=$\frac{1}{2}$mv₀²，解得：v₀=$\sqrt{\frac{2qEa}{m}}$，
粒子经过O点后，速度为v₁，v₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$v₀=$\sqrt{\frac{qEa}{m}}$，
如图所示，粒子进入磁场后的轨迹圆与磁场边界相切时，
磁感应强度最小为B₀．设粒子轨道半径为R₁，有R₁=$\sqrt{3}$atan30°=a，
由牛顿第二定律得：qB₀v₁=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$，解得：B₀=$\sqrt{\frac{mE}{qa}}$；
（2）如图，粒子经O₁点进入电场区域做匀减速运动，
后又加速返回，再次进入磁场时的速率：v₂=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²v₁=$\frac{1}{2}$v₁，
此时粒子做圆周运动的半径：R₂=$\frac{1}{2}$R₁=$\frac{1}{2}$a，
其运动轨迹如图甲所示，此后不再进入磁场．
由几何关系可知：∠MO₁′O₁=60°，
粒子在磁场中运动的周期为：T₁=T₂=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$=2π$\sqrt{\frac{ma}{qE}}$，
则粒子在磁场中运动的时间为：t=$\frac{{T}_{1}}{2}$+$\frac{{T}_{2}}{6}$=$\frac{4π}{3}$$\sqrt{\frac{ma}{qE}}$；
答：（1）欲使粒子能够再次经过x轴，磁场的磁感应强度B₀最小是$\sqrt{\frac{mE}{qa}}$；
（2）在磁感应强度等于第（1）问中B₀的情况下，粒子在磁场中的运动时间为$\frac{4π}{3}$$\sqrt{\frac{ma}{qE}}$．

点评 本题作为压轴题涉及的每一问之间有一定梯度，第一问和第二问为常规题型，只要有一定的物理功底即可拿到分数，第三问的难度具有一定的选拔性，若想成为优中之优一定要重视数学方法在物理中的应用．