Question

10．如图所示，小球沿水平面通过O点进入半径为R的半圆弧轨道后恰能通过最高点P，然后落回水平面．不计一切阻力． 求：
（1）小球落地点离O点的水平距离为多少？
（2）若将半圆弧轨道的上半部分截去，其他条件不变，则小球能达到的最大高度比P点高多少？

Answer 1

分析 （1）到达最高点对轨道无压力，根据牛顿第二定律求得速度，从最高点做平抛运动，根据平抛规律即可求得小球落地点离O点的水平距离；
（2）截去前对小球从O到P运用动能定理，半圆弧轨道的上半部分截去后，小球从轨道滑出，做竖直上抛运动，运动到最高点速度减为0，对全过程运用动能定理，联立两个过程的动能定理，即可求解小球能达到的最大高度比P点高多少．

解答 解：（1）小球恰能通过最高点P，则在最高点P时，小球重力恰好提供向心力，
可得：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
离开P点后做平抛运动，根据平抛规律有：x=vt，2R=$\frac{1}{2}$gt²，
联立解得：x=2R
（2）半圆弧轨道分析小球由O到P的过程，由动能定理得：
-2mgR=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²
将半圆弧轨道的上半部分截去后，$\frac{1}{4}$圆弧轨道分析小球由O到最高点的过程，
由动能定理得：-mgh=0-$\frac{1}{2}$mv₀²
联立可得：h=$\frac{5}{2}R$
则小球能达到的最大高度比P点高△h=h-2R=$\frac{1}{2}R$
答：（1）小球落地点离O点的水平距离为2R；
（2）若将半圆弧轨道的上半部分截去，其他条件不变，则小球能达到的最大高度比P点高$\frac{1}{2}$R．

点评 本题考查动能定理的应用，解题关键是要分析清楚物体的运动过程，知道小球在竖直明面内做圆周运动恰好通过P点的条件，然后结合平抛运动和动能定理的相关知识进行研究．