Question

15．如图所示，一固定容器的内壁是半径为R的半球面；在半球面水平直径的一端有一质量为m的质点P．它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为W₁．重力加速度大小为g．设质点P在最低点时，向心加速度的大小为a，容器对它的支持力大小为F_N，最低点到右侧最高点的过程中，运动路程为s₂，克服摩擦力做的功为W₂，则（　　）

• A． a=$\frac{2（mgR-{W}_{1}）}{mR}$
• B． F_N=$\frac{3mgR-2{W}_{1}}{R}$
• C． W₂＜W₁
• D． s₂=$\frac{πR}{2}$

Answer 1

分析 根据动能定理求得最低点的速度，即可求得向心加速度并由牛顿第二定律求得支持力；根据摩擦力做负功由动能定理得到s₂的范围，并根据速度得到摩擦力的变化，进而得到W₁和W₂的大小关系．

解答 解：A、质点P由静止滑到最低点的过程只有重力、摩擦力做功，故由动能定理可得：$mgR-{W}_{1}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，那么，$a=\frac{{v}^{2}}{R}=\frac{2（mgR-{W}_{1}）}{mR}$，故A正确；
B、对质点在最低点应用牛顿第二定律可得：${F}_{N}-mg=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，${F}_{N}=mg+\frac{2（mgR-{W}_{1}）}{R}=\frac{3mgR-2{W}_{1}}{R}$，故B正确；
CD、由于摩擦力做负功，那么物块不能到达右半侧与水平直径的交点，故${s}_{2}＜\frac{πR}{2}$；且在相同高度，质点在右半侧的速度小于在左半侧的速度，那么由牛顿第二定律可知：质点在右半侧的支持力小于在左半侧的支持力，所以，质点在右半侧的摩擦力小于在左半侧的摩擦力，即W₂＜W₁；故C正确，D错误；
故选：ABC．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．