我国去年发射的探月卫星“嫦娥一号已正常工作整整一年．(1)若“嫦娥一号卫星质量为m.其绕月轨道为椭圆轨道.已知它在近月点时距离地面高度为h1.速度为v1.加速度为a1.在远月点时.距离地面高度为h2.速度为v2.月球半径为R．则:①该卫星由近月点到远月点的过程中月球对它的引力做了多少功?②该卫星在远月点时运动的加速度a2多大?(2)若把月球和地球都视为质� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．我国去年发射的探月卫星“嫦娥一号”已正常工作整整一年．
（1）若“嫦娥一号”卫星质量为m，其绕月轨道为椭圆轨道，已知它在近月点时距离地面高度为h₁，速度为v₁，加速度为a₁，在远月点时，距离地面高度为h₂，速度为v₂，月球半径为R．则：①该卫星由近月点到远月点的过程中月球对它的引力做了多少功？
②该卫星在远月点时运动的加速度a₂多大？
（2）若把月球和地球都视为质量均匀的球体，已知地球和月球的半径之比$\frac{r_1}{r_2}=\frac{1}{3.6}$，月球表面和地球表面的重力加速度之比$\frac{g_1}{g_2}=\frac{1}{6}$，求：月球和地球的密度之比$\frac{ρ_1}{{{ρ_{\;}}}}$（保留两位有效数字）

分析（1）①由远地点点到近地点点的过程只有万有引力做功，根据动能定理列式求解即可；②万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律两次列式后联立求解即可．
（2）根据物体的重力约等于其万有引力，可得到月球与地球的质量之比，再质量与体积之比求出密度之比．

解答解：（1）①卫星运动过程中只有引力做功，根据动能定理有：
引力对卫星做的功：$W=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
②设月球的质量为M，由牛顿第二定律得：
近地点：${a}_{1}=\frac{GM}{（R+{h}_{1}）^{2}}$
远地点：${a}_{2}=\frac{GM}{（R+{h}_{2}）^{2}}$
所以可知a₂=$（\frac{R+{h}_{1}}{R+h2}）^{2}{a}_{1}$
（2）：设月球质量为M₁，地球质量为M₂，则质量为m的物体分别在月球和地球表面时的重力与万有引力相等，有：
$G\frac{{M}_{1}m}{{r}_{1}^{2}}=m{g}_{1}$
$G\frac{{M}_{2}m}{{r}_{2}^{2}}=m{g}_{2}$
又由于M₁=ρ₁$\frac{4}{3}$$π{r}_{1}^{3}$，M₂=${ρ}_{2}\frac{4}{3}π{r}_{2}^{3}$
由以上各式解得：$\frac{{ρ}_{1}}{{ρ}_{2}}=\frac{{g}_{1}{r}_{2}}{{g}_{2}{r}_{1}}=\frac{1×3.6}{6}=0.60$
答：（1）①该卫星由近月点到远月点的过程中月球对它的引力做的功为：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
②该卫星在远月点时运动的加速度a₂为$（\frac{R+{h}_{1}}{R+h2}）^{2}{a}_{1}$；
（2）月球和地球的密度之比$\frac{ρ_1}{{{ρ_{\;}}}}$=0.60．