Question

5．图为某娱乐活动中的挑战项目装置示意图，它由两台皮带传送机组成，一台水平传送，A、B两端相距3m，另一台倾斜，传送带与地面的倾角θ=37°，C、D传送带足够长，B、C相距很近．水平部分AB以5m/s的速率顺时针转动．挑战者需要将质量为2.5kg的纸箱以一定的水平向右的初速v₀放在A端，到达B端后，纸箱速度大小不变地被传到倾斜的CD部分，以纸箱最终在CD部分上升的距离大小定输赢，距离大者获胜．纸箱与AB传送带间的动摩擦因数为0.2，与CD间的摩擦因数为0.5．试求：
（1）倾斜部分CD静止不转时，若第一位挑战者以3m/s的水平向右初速将纸箱放上A点，纸箱到达B点时的速度是多大？纸箱在CD传送带上上升的最大距离是多少？
（2）倾斜部分CD以1m/s的速率顺时针转动．若第二位挑战者想胜过第一位，应最少以多大的水平初速将纸箱放上A点？

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律可求得米的加速度，因米袋的最大速度只能为5m/s，则应判断米袋到达B点时是否已达最大速度，若没达到，则由位移与速度的关系可求得B点速度，若达到，则以5m/s的速度冲上CD；在CD面上由牛顿第二定律可求得米袋的加速度，则由位移和速度的关系可求得上升的最大距离；
（2）米袋在CD上应做减速运动，若CD的速度较小，则米袋的先减速到速度等于CD的速度，然后减小到零，分段列出位移与速度关系可求得B点的速度；再对AB过程列方程可求得A点的速度．

解答 解：（1）纸箱在AB上加速时的加速度：
a₀=$\frac{μmg}{m}$=μg=0.2×10=2m/s²
米袋的速度达到v₀=5m/s时，滑行的距离：
s₀=$\frac{25-9}{2×2}$=4m；因此纸箱在到达B点之前没有达5m/s；
由v²-v₀²=2ax可得：
v=$\sqrt{21}$m/s；
设纸箱在CD上运动的加速度大小为a，由牛顿第二定律得：
mgsinθ+μmgcosθ=ma
代入数据得：a=10 m/s²
所以能滑上的最大距离：
s=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$=$\frac{21}{2×10}$=1.05m
（2）设CD部分运转速度为v₁时米袋恰能到达D点（即米袋到达D点时速度恰好为零），则米袋速度减为v₁之前的加速度为：
a₁=-g（sinθ+μcosθ）=-10 m/s²
米袋速度小于v₁至减为零前的加速度为：
a₂=-g（sinθ-μcosθ）=-2 m/s²
由 $\frac{{v}_{1}^{2}-{v}_{2}^{2}}{2{a}_{1}}$+$\frac{0-{v}_{1}^{2}}{2{a}_{2}}$=1.05m
解得：v₁=4m/s，即要超过第1个人，到达B点的速度应为4m/s；
则对AB过程可知：
v₁²-v_A²=2ax
解得：v_A=2m/s；
答：（1）到达B点的速度为$\sqrt{21}$m/s；CD上运动的位移为1.05m；
（2）要想超过前者，放在A点的速度应至少为2m/s．

点评 本题难点在于通过分析题意找出临条界件，注意米袋在CD段所可能做的运动情况，从而分析得出题目中的临界值为到达D点时速度恰好为零；本题的难度较大．