Question

7．如图所示，在xOy平面内存在均匀、大小随时间周期性变化的磁场和电场，变化规律分别如图乙、丙所示（规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向、沿y轴正方向电场强度为正）．在t=0时刻由原点O发射初速度大小为υ₀，方向沿y轴正方向的带负电粒子．已知u₀、t₀、B₀，粒子的比荷为$\frac{π}{{B}_{0}{t}_{0}}$，不计粒子的重力．

（1）t=t₀时，求粒子的位置坐标；
（2）若t=5t₀时粒子回到原点，求0～5t₀时间内粒子距x轴的最大距离；
（3）若粒子能够回到原点，求满足条件的所有E₀值．如图所示，在xoy平面内存在均匀、大小随时间周期性变化的磁场和电场，变化规律分别如图乙、丙所示（规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，沿y轴正方向电场强度为正）

Answer 1

分析 根据洛伦兹力提供向心力和周期公式求粒子的坐标；
画出粒子运动轨迹，据此求粒子的最大距离；
结合做周期性运动的轨迹，要使粒子经过原点，则必须满足：n（2r₂-2r₁）=2r₁（n=1，2，3，…）．

解答 解：（1）由粒子的比荷得粒子做圆周运动的周期为：
T=$\frac{2πm}{qB}$=2t₀ 
则在0-t₀内转过的圆心角α=π
由牛顿第二定律有：qv₀B₀=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{{r}_{1}}$
得：r₁=$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{π}$
位置坐标为：（$\frac{2{v}_{0}{t}_{0}}{π}$，0）
（2）粒子t=5t₀时回到原点，轨迹如图1所示r₂=2r₁
r₁=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$
r₂=$\frac{m{v}_{2}}{q{B}_{0}}$
得：v₂=2v₀
又$\frac{q}{m}$=$\frac{π}{{B}_{0}{t}_{0}}$
r₂=$\frac{2{v}_{0}{t}_{0}}{π}$
粒子在t₀-2t₀时间内做匀加速直线运动，2t₀-3t₀时间内做匀速圆周运动，则在5t₀时间内粒子距x轴的最大距离：h_m=$\frac{{v}_{0}+2{v}_{0}}{2}$t₀+r₂=（$\frac{3}{2}$+$\frac{2}{π}$）v₀t₀
（3）如图2所示，设带电粒子在x轴上方做圆周运动的轨道半径为r₁，在x轴下方做圆周运动的轨道半径为r₂，由几何关系可知，要使粒子经过原点，则必须满足：
n（2r₂-2r₁）=2r₁（n=1，2，3，…）
r₁=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$
r₂′=$\frac{mv}{q{B}_{0}}$
联立以上解得：V=$\frac{n+1}{n}$v₀
又由于：v=v₀+$\frac{q{E}_{0}{t}_{0}}{m}$
得：E₀=$\frac{{v}_{0}{B}_{0}}{nπ}$（n=1，2，3，…）
答：（1）t=t₀时，粒子的位置坐标为（$\frac{2{v}_{0}{t}_{0}}{π}$，0）；
（2）若t=5t₀时粒子回到原点，0～5t₀时间内粒子距x轴的最大距离为（$\frac{3}{2}$+$\frac{2}{π}$）v₀t₀；
（3）若粒子能够回到原点，满足条件的所有E值为E₀=$\frac{{v}_{0}{B}_{0}}{nπ}$（n=1，2，3，…）．

点评 带电粒子在电场、磁场和重力场等共存的复合场中的运动，其受力情况和运动图景都比较复杂，但其本质是力学问题，应按力学的基本思路，运用力学的基本规律研究和解决此类问题．