Question

10．如图所示，MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，导轨弯曲部分光滑，平直部分粗糙，二者平滑连接．右端接一个阻值为R的定值电阻．平直部分导轨左边区域有宽度为d、方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场．质量为m、电阻也为R的金属棒从高度为h处静止释放，到达磁场右边界处恰好停止．已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，金属棒与导轨间接触良好．则金属棒穿过磁场区域的过程中（　　）

• A． 金属棒的最大电压为$\frac{1}{2}$BL$\sqrt{2gh}$
• B． 金属在磁场中的运动时间为$\frac{\sqrt{2}d}{\sqrt{gh}}$
• C． 克服安培力所做的功为mgh
• D． 右端的电阻R产生的焦耳热为$\frac{1}{2}$（mgh-μmgd）

Answer 1

分析 金属棒在弯曲轨道下滑时，只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律或动能定理可以求出金属棒到达水平面时的速度，由E=BLv求出感应电动势．金属棒进入水平导轨后做减速运动，产生的感应电动势减小，所以金属棒刚进入水平导轨时电压最大．由串联电路分压规律求出最大电压；根据牛顿第二定律和加速度的定义式结合求时间．克服安培力做功转化为焦耳热，由动能定理（或能量守恒定律）可以求出克服安培力做功，得到导体棒产生的焦耳热．

解答 解：A、金属棒在下滑过程中，由机械能守恒定律得：mgh=$\frac{1}{2}$mv²，则得金属棒到达水平面时的速度 v=$\sqrt{2gh}$
金属棒进入磁场后受到向左的安培力和摩擦力而做减速运动，则金属棒刚到达水平面时的速度最大，所以最大感应电动势为 E=BLv
金属棒的最大电压为 U=$\frac{1}{2}$E=$\frac{1}{2}$BL$\sqrt{2gh}$．故A正确；
B、金属棒在磁场中运动时，取向右为正方向，根据牛顿第二定律得：
-μmg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$=ma=m$\frac{△v}{△t}$
即得-μmg△t-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$△t=m△v
两边求和得：$\sum_{\;}^{\;}$（-μmg△t-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$△t）=$\sum_{\;}^{\;}$m△v
则得-μmgt-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}d}{2R}$=0-mv
解得金属在磁场中的运动时间为 t=$\frac{m\sqrt{2gh}-\frac{{B}^{2}{L}^{2}d}{2R}}{μmg}$．故B错误．
C、金属棒在整个运动过程中，由动能定理得：mgh-W_B-μmgd=0-0，则克服安培力做功：W_B=mgh-μmgd，故C错误；
D、克服安培力做功转化为焦耳热，电阻与导体棒电阻相等，通过它们的电流相等，则金属棒产生的焦耳热：Q_R=$\frac{1}{2}$Q=$\frac{1}{2}$W_B=$\frac{1}{2}$（mgh-μmgd），故D正确．
故选：AD

点评 解决本题的关键是运用积分法求金属棒在磁场中运动的时间，其切入点是牛顿第二定律和瞬时加速度的定义式．