Question

3．如图甲所示，在直角坐标系中的0≤x≤L区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，以点（3L，0）为圆心、半径为L的圆形区域，与x轴的交点分别为M、N，在xOy平面内，从电离室产生的质量为m，带电量为e的电子以几乎为零的初速度飘入电势差为U的加速电场中，加速后经过右侧极板上的小孔沿x轴正向由y轴上的P点进入到磁场，飞出磁场后从M点进入圆形区域，速度方向与x轴夹角为30°，此时在圆形区域加如图乙所示的周期性变化的磁场，以垂直于纸面向外为磁场正方向，电子运动一段时间后从N点飞出，速度方向与M点进入磁场时的速度方向相同．求：

（1）电子刚进入磁场区域时的y_P坐标；
（2）0≤x≤L 区域内匀强磁场磁感应强度B的大小；
（3）写出圆形磁场区域磁感应强度B₀的大小、磁场变化周期T各应满足的表达式．

Answer 1

分析 （1）粒子做匀速圆周运动，依据几何关系，即可求解；
（2）依据动能定理，结合几何关系，即可求解．
（3）质子在磁场中，洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动．分析质子进入磁场的速度方向与进入磁场时的速度方向相同条件，根据圆的对称性，由几何知识得到半径，周期T各应满足的表达式．

解答 解：（1）电子在矩形磁场区域做圆周运动，出磁场后做直线运动，其轨迹如图所示
由几何关系有：R=2L

${y_P}=（{2-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）L$
因此刚进入磁场区域时的y_P坐标（0，（2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）L）；
（2）由动能定理：$eU=\frac{1}{2}mv_0^2$
可得：${v_0}=\sqrt{\frac{2eU}{m}}$
又$e{v_0}B=\frac{mv_0^2}{R}$
把几何关系R=2L代入
解得 $B=\frac{{\sqrt{2meU}}}{2eL}$
（3）在磁场变化的半个周期内粒子的偏转角为60°，根据几何知识，在磁场变化的半个周期内，粒子在x轴方向上的位移恰好等于R．粒子到达N点而且速度符合要求的空间条件是：2nR=2L

电子在磁场作圆周运动的轨道半径$R=\frac{{m{v_0}}}{{e{B_0}}}$
解得  ${B_0}=\frac{{n\sqrt{2emU}}}{eL}$（n=1，2，3，…）
粒子在磁场变化的半个周期恰好转过$\frac{1}{6}$圆周，同时MN间运动时间是磁场变化周期的整数倍时，可使粒子到达N点并且速度满足题设要求．应满足的时间条件：$\frac{1}{6}{T_0}=\frac{T}{2}$
又${T_0}=\frac{2πm}{{e{B_0}}}$
T的表达式得：$T=\frac{2πmL}{{3n\sqrt{2emU}}}$（n=1，2，3，…）
答：（1）电子刚进入磁场区域时的y_P坐标（0，（2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）L）；
（2）0≤x≤L 区域内匀强磁场磁感应强度B的大小$\frac{\sqrt{2meU}}{2eL}$；
（3）圆形磁场区域磁感应强度B₀的大小表达式 ${B_0}=\frac{{n\sqrt{2emU}}}{eL}$（n=1，2，3，…）；
磁场变化周期T应满足的表达式$T=\frac{2πmL}{{3n\sqrt{2emU}}}$（n=1，2，3，…）．

点评 本题带电粒子在组合场中运动，分别采用不同的方法：电场中运用运动的合成和分解，磁场中圆周运动处理的基本方法是画轨迹．所加磁场周期性变化时，要研究规律，得到通项式．