Question

8．倾角θ=30^o、长L=2.7m的斜面，底端与一个光滑的四分之一圆弧平滑连接，圆弧底端切线水平，一质量m=1kg的小滑块从斜面最高处的A点由静止沿斜面下滑，经过斜面底端B恰好到达圆弧轨道最高点C；又沿圆弧折返，恰好能到达斜面上的D点处，再从D点滑下，小滑块如此往复运动，最后停在B点，已知滑块与斜面间的动摩擦因数为μ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，g=10m/s²，求：
（1）滑块第一次经过圆弧轨道最低点时对轨道的压力；
（2）滑块从A到D的运动过程中重力势能的变化量．

Answer 1

分析 （1）滑块从C到B过程只有重力做功，根据机械能守恒定律列式可以求解B点的速度；滑块在B点时，由重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式可以求解支持力，最后根据牛顿第三定律得到压力．
（2）对A到B过程和B到D过程分别运用动能定理列式，求出第一次返回的位移，最后得到重力势能的改变情况．

解答 解：（1）设圆弧半径为R，质点在B点的速度为v，以地面为参考平面，在质点从C到B的过程中，由机械能守恒定律有：
  $mgR=\frac{1}{2}m{v}^{2}$                                     
在B点，由牛顿第二定律有：${F}_{N}-mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$       
解得：F_N=3mg=30N 
由牛顿第三定律可知，滑块第一次经过圆弧轨道最低点时对轨道的压力为30N．
（2）设质点第一次从B点沿斜面上滑的速度为v₁，B点到D点的距离为L₁，由动能定理得：
 从A到B的过程，有：mgLsin30°-μmgLcos30°=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$                  
从B到D的过程，有：-mgL₁sin30°-μmgL₁cos30°=0-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$       
解得：L₁=0.9m
所以滑块从A到D的运动过程中重力势能的变化量为：
△E_p=mg（L₁-L）sin30°=-9J
答：（1）滑块第一次经过圆弧轨道最低点时对轨道的压力是30N；
（2）滑块从A到D的运动过程中重力势能的变化量是-9J．

点评 本题是单个物体多过程问题．涉及到牛顿运动定律在圆周运动中的应用、动能定理和机械能守恒定律的应用，运用动能定理要灵活选择研究的过程，本题也可以对A到C再到D的整个过程运用动能定理，求解L₁．