Question

14．翼型飞行器有很好的飞行性能．其原理是通过对降落伞的调节，使空气升力和空气阻力都受到影响．同时通过控制动力的大小而改变飞行器的飞行状态．已知：飞行器的动力F始终与飞行方向相同，空气升力F₁与飞行方向垂直，大小与速度的平方成正比，F₁=C₁v²；空气阻力F₂与飞行方向相反，大小与速度的平方成正比，F₂=C₂v²．其中C₁、C₂相互影响，可由运动员调节，满足如图1所示的关系．飞行员和装备的总质量为90kg．（重力加速度取g=10m/s²）

（1）若飞行员使飞行器以v₁=10$\sqrt{3}$m/s速度在空中沿水平方向匀速飞行，如图2所示．则飞行器受到动力F大小为多少？
（2）若飞行员关闭飞行器的动力，使飞行器匀速滑行，且滑行速度v₂与地平线的夹角θ=30°．如图3所示．则速度v₂的大小为多少？（结果可用根式表示）
（3）若飞行员使飞行器在空中的某一水平面内做匀速圆周运动，如图4所示，在此过程中C₂只能在1.75--2.5Ns²/m²之间调节，且C₁、C₂的大小与飞行器的倾斜程度无关，则飞行器绕行一周动力F做功的最小值为多少？（结果可保留π）

Answer 1

分析 （1）物体做直线运动的条件是所受的合力方向与速度方向在一条直线上，根据运动员和翼型伞的受力情况进行判断；
（2）由①位置的受力分析，匀速运动时对重力进行分解，根据平衡条件求解；
（3）竖直方向匀速运动，水平方向做圆周运动，根据力的做功表达式，结合前面条件，即可求解

解答 解：（1）由受力分析可知：mg=C₁v₁²
得C₁=3N•s²/m²            
由C₁、C₂关系图象可得
C₂=2.5N•s²/m²
动力F=F₂=C₂v₁²
所以F=750N
（2）由受力分析可知：
mgcosθ=C₁v₂²  
mgsinθ=C₂v₂²  
又C₁=C₂cotθ
在图1中过原点作直线正确得到直线与曲线的交点
C₂=2.3N•s²/m²          
C₁=4N•s²/m²         
得v₂约为$\sqrt{195}$m/s
（3）设此时飞行器飞行速率为v，圆周运动的半径为R，F₁与竖直方向夹角为α，则有：
竖直方向合力为零：mg=C₁v²cosα
水平方向合力提供向心力：C₁v²sinα=$\frac{m{v}^{2}}{R}$ 
动力：F=F₂=C₂v²
绕行一周动力做的功为$W=F•2πR=\frac{2π{C}_{2}{m}^{2}g}{{C}_{1}^{2}sinαcosα}$
当C₂=1.75N•s²/m²，C₁=6N•s²/m²，α=45°时，W有最小值．
W_min=15750πJ=49455J
答：（1）则飞行器受到动力F大小为750N
（2）则速度v₂的大小为$\sqrt{195}$m/s
（3）则飞行器绕行一周动力F做功的最小值为49455J

点评 本题有一定的难度，能正确的理解题目所提示的信息，并有一定的数据解读能力是解决该题的关键