Question

16．如图所示，质量均为M的木块A和B，并排放在光滑水平面上，A上固定一竖直轻杆，轻杆上端的小钉（质量不计）O上系一长度为L的细线，细线另一端系一质量为m的球C，现将C球拉起使细线水平伸直，并由静止释放C球（C球不与直杆相碰）．求：
（1）两木块刚分离时，A、B、C的速度各多大？
（2）两木块分离后，小球偏离竖直方向的最大偏角θ的余弦值cos θ．

Answer 1

分析 （1）小球向下摆动到最低点时，A、B、C系统水平方向不受外力，水平方向动量守恒，根据动量守恒定律和机械能守恒定律求出两木块刚分离时A、B、C的速度．
（2）两木块分离后，A、C组成的系统水平方向动量守恒、机械能守恒，结合动量守恒定律和机械能守恒定律求出最大偏角θ的余弦值cos θ．

解答 解：（1）小球C下落到最低点时，AB开始分离，此过程水平方向动量守恒．根据机械能守恒有：
mgL=$\frac{1}{2}$mv_C²+$\frac{1}{2}$×2Mv_AB²；
取水平向左为正方向，由水平方向动量守恒得：
mv_C-2Mv_AB=0
联立解得：v_C=2$\sqrt{\frac{MgL}{2M+m}}$，v_AB=$\frac{m}{M}$$\sqrt{\frac{M}{2M+m}gL}$．
（2）选A、C为研究对象，由水平方向动量守恒有：
mv_c-Mv_AB=（m+M）v′
由机械能守恒，有：
$\frac{1}{2}$mv_C²+$\frac{1}{2}$Mv_AB²=$\frac{1}{2}$（m+M）v′²+mgL（1-cos θ）
解得：cosθ=$\frac{m}{2M+m}$．
答：（1）两木块刚分离时，A、B的速度为$\frac{m}{M}$$\sqrt{\frac{M}{2M+m}gL}$，C的速度为2$\sqrt{\frac{MgL}{2M+m}}$．
（2）两木块分离后，小球偏离竖直方向的最大偏角θ的余弦值cos θ是$\frac{m}{2M+m}$．

点评 解答本题要抓住系统水平方向动量是守恒的，但总动量并不守恒，整个过程中机械能是守恒的．分段研究这类问题．