Question

9．如图1所示，足够长的固定斜面倾角为α，一小物块从斜面底端开始以初速度v₀沿斜面向上运动，若v₀=12m/s，则经过2s后小物块达到最高点．多次改变v₀的大小，记录下小物块从开始运动到最高点的时间t_m，作出t_m-v₀图象，如图2所示，（g取10m/s²）则：

（1）若斜面光滑，求斜面倾角α．
（2）更换另一个倾角α=30°的斜面，当小物块以v₀=12m/s沿斜面向上运动时，仍经过2s到达最高点，求它回到原来位置的速度大小．
（3）更换斜面，改变斜面倾角α，得到的t_m-v₀图象斜率为k，则当小物块以初速度v₀沿斜面向上运动时，求小物块在斜面上运动的总时间为多少？

Answer 1

分析 （1）根据图象求出加速度，由牛顿第二定律求出斜面倾角α；
（2）根据牛顿第二定律求出上升过程的加速度，求出μ；再根据牛顿第二定律求出下滑的加速度，根据运动学公式求出回到原来位置的速度大小；
（3）根据牛顿第二定律求出a关于α的函数，分两种讨论，分别求总时间

解答 解：（1）由图可知，$a=\frac{{v}_{0}^{\;}}{{t}_{m}^{\;}}=\frac{12}{2}=6m/{s}_{\;}^{2}$，
根据牛顿第二定律有：mgsinα=ma
即：$a=gsinα=6m/{s}_{\;}^{2}$
可得：$sinα=\frac{a}{g}=0.6$
解得：α=37°                             
（2）上升到最高点的加速度为：${a}_{1}^{\;}=\frac{△v}{△t}=\frac{0-12}{2}m/{s}_{\;}^{2}=-6m/{s}_{\;}^{2}$
根据牛顿第二定律有：$mgsin30°+μmgcos30°=m{a}_{1}^{\;}$
${a}_{1}^{\;}=gsin30°+μgcos30°=6m/{s}_{\;}^{2}$
解得：$μ=\frac{1}{5\sqrt{3}}$                
上升过程中有：${s}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}^{\;}}=\frac{1{2}_{\;}^{2}}{2×6}=12m$
下降过程中有：$mgsin30°-μmgcos30°=m{a}_{2}^{\;}$
得：${a}_{2}^{\;}=gsin30°-μgcos30°=4m/{s}_{\;}^{2}$
由此可得：${v}_{t}^{\;}=\sqrt{2{a}_{2}^{\;}s}=\sqrt{2×4×12}=4\sqrt{6}m/s$      
（3）由题意可知，$\frac{{t}_{m}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}=k=\frac{1}{a}$，可知，$a=\frac{1}{k}$
由于物体在斜面上上升过程中有：
a=gsinα+μgcosα
可得：$μ=\frac{1}{kgcosα}-tanα$
讨论：（a）当μ＞tanα，即k＜$\frac{1}{2gsinα}$，物块上滑到最高点后不会下滑．则t=v₀k．
（b）当μ＜tanα，即k＞$\frac{1}{2gsinα}$，物块到最高点后会下滑，上升时间t₁=v₀k．
上升的位移为$s=\frac{1}{2}{v}_{0}^{\;}{t}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}k{v}_{0}^{2}$
下滑时，${a}_{1}^{\;}=gsinα-μgcosα$，
与a=gsinα+μgcosα联立得：${a}_{1}^{\;}=2gsinα-a=2gsinα-\frac{1}{k}$，
则${t}_{2}^{\;}=\sqrt{\frac{2s}{{a}_{1}^{\;}}}=\sqrt{\frac{2×\frac{1}{2}k{v}_{0}^{2}}{2gsinα-\frac{1}{k}}}=k{v}_{0}^{\;}\sqrt{\frac{1}{2kgsinα-1}}$   
t_总=t₁+t₂=v₀k+$k{v}_{0}^{\;}\sqrt{\frac{1}{2kgsinα-1}}$=kv₀（1+$\sqrt{\frac{1}{2kgsinα-1}}$）
答：（1）若斜面光滑，求斜面倾角α为37°．
（2）更换另一个倾角α=30°的斜面，当小物块以v₀=12m/s沿斜面向上运动时，仍经过2s到达最高点，它回到原来位置的速度大小$4\sqrt{6}m/s$．
（3）更换斜面，改变斜面倾角α，得到的t_m-v₀图象斜率为k，则当小物块以初速度v₀沿斜面向上运动时，
①当μ＞tanα，即k＜$\frac{1}{2gsinα}$，物块上滑到最高点后不会下滑．则小物块在斜面上运动的总时间为t=v₀k
②当μ＜tanα，即k＞$\frac{1}{2gsinα}$，物块到最高点后会下滑，总时间为$k{v}_{0}^{\;}（1+\sqrt{\frac{1}{2kgsinα-1}}）$

点评 解决本题的关键理清物块的运动情况，正确地受力分析，运用牛顿第二定律和运动学公式综合求解．