Question

4．传送带以恒定速度v=4m/s顺时针运行，传送带与水平面的夹角θ=37°，现将质量m=2kg的小物品轻放在其底端（小物品可看成质点），平台上的人通过一根轻绳用恒力F=20N拉小物品，经过一段时间物品被拉到离地高为H=1.8m的平台上，如图所示．已知物品与传送带这间的动摩擦因数μ=0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s²，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
①物品从传送带底端运动到平台上所用的时间是多少？传送带对物体做了多少功？
②若在物品与传送带达到相同速度瞬间撤去恒力F，求特品还需多少时间离开皮带？及物块离开皮带时的速度．

Answer 1

分析 ①先假设传送带足够长，对滑块受力分析，根据牛顿第二定律求解出加速度，然后运用运动学公式求解出加速的位移和时间，根据位移判断是否有第二个过程，当速度等于传送带速度后，通过受力分析，可以得出物体恰好匀速上滑，最后得到总时间；根据能量守恒定律求传送带对物体做的功．
②若在物品与传送带达到同速瞬间撤去恒力F，先受力分析，根据牛顿第二定律求出加速度，然后根据运动学公式列式求解．

解答 解：①物品在达到与传送带速度v=4m/s相等前，由牛顿第二定律有：
  F+μmgcos37°-mgsin37°=ma₁
解得 a₁=8m/s²
由v=a₁t₁，得 t₁=0.5s
位移 x₁=$\frac{1}{2}$a₁t₁²=1m．
随后，有：F-μmgcos37°-mgsin37°=ma₂
解得 a₂=0，即物品随传送带匀速上升
位移 x₂=$\frac{H}{sin37°}$-x₁=2m
    t₂=$\frac{{x}_{2}}{v}$=0.5s
总时间为：t=t₁+t₂=1s
即物品从传送带底端运动到平台上所用的时间是1s．
根据能量守恒定律得：W_F+W=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+mgH
所以传送带对小物块所做的功为 
  W=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+mgH-F$\frac{H}{sin37°}$
=$\frac{1}{2}×2×16$+20×1.8-20×$\frac{1.8}{0.6}$=-8J
②在物品与传送带达到同速瞬间撤去恒力F，根据牛顿第二定律，有
  μmgcos37°-mgsin37°=ma₃
解得：a₃=-2m/s²；
假设物品向上匀减速到速度为零时，通过的位移为x
  x=-$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{3}}$=4m＞x₂；
即物体速度为减为零时已经到达最高点；
由x₂=vt₃+$\frac{1}{2}$a₃t₃²；
解得 t₃=（2-$\sqrt{2}$）s（t₃=（2+$\sqrt{2}$）s＞0.5s，舍去）．
到达顶端的速度 v′=v-a₃t₃=4-2×（2-$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$m/s，方向沿斜面向上
答：
①物品从传送带底端运动到平台上所用的时间是1s，传送带对物体做了-8J功．
②若在物品与传送带达到相同速度瞬间撤去恒力F，物品还需（2-$\sqrt{2}$）s时间离开皮带，物块离开皮带时的速度是2$\sqrt{2}$m/s，方向沿斜面向上．

点评 本题关键是受力分析后，根据牛顿第二定律求解出加速度，通过运动学公式计算位移，分析物体的运动情况．要知道功能关系也是求功的一种方法，要学会运用．