Question

6．如图所示，在竖直平面内有一圆，O为圆心，AB为竖直直径，C为圆周上一点，在圆内放置两跟光滑杆AC、OC，AC与AB成θ角，两杆上各套一个小球（可看作质点）a、b，将小球a、b由杆的上端从静止释放，小球a在杆上运动的时间为t₁，小球b在杆上运动的时间为t₂，当θ角在0°到90°之间取值时，则下列说法正确的是（　　）

• A． 若t₁=t₂，θ角有一个确定的值
• B． 若t₁＜t₂，则30°＜θ＜60°
• C． 若t₁＞t₂，则30°＜θ＜60°
• D． 若θ＜30°，则t₁＜t₂

Answer 1

分析 根据牛顿运动定律，推导出a球沿AC运动的时间t₁的表达式，利用几何关系得知CO与竖直方向上的夹角，再利用牛顿运动定律推导出b球沿OC运动的时间t₂的表达式，根据选项给出的条件，逐一验证各选项，即可得知正确结果．

解答 解：设半径为R，沿AC运动时的加速度为：a=gcosθ
由几何知识可知运动的位移为：s=2Rcosθ
由运动学公式有：s=$\frac{1}{2}$a${t}_{1}^{2}$
三式联立得：t₁=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$
由题意可知，OC与竖直方向的夹角为180°-2θ，其加速度大小为：a′=|gcos（180°-2θ）|
在CO上运动时有：R=$\frac{1}{2}$×|gcos（180°-2θ）|•${t}_{2}^{2}$
解得：t₂=$\sqrt{\frac{2R}{|gcos（180°-2θ）|}}$
A、若t₁=t₂，即2$\sqrt{\frac{R}{g}}$=$\sqrt{\frac{2R}{|gcos（180°-2θ）|}}$，解得：θ=30°或θ=60°，θ角有两个值，选项A错误．
BC、若t₁＜t₂，即2$\sqrt{\frac{R}{g}}$＜$\sqrt{\frac{2R}{gcos（180°-2θ）}}$，解得：30°＜θ＜60°，选项B正确，C错误．
D、若θ＜30°，则180°-2θ＞120°，|gcos（180°-2θ）|＞$\frac{1}{2}$，即得：2$\sqrt{\frac{R}{g}}$=$\sqrt{\frac{2R}{|gcos（180°-2θ）|}}$＜2$\sqrt{\frac{R}{g}}$，得知：t₂＜t₁，选项D错误．
故选：B

点评 该题考查到了牛顿运动定律的综合和应用中的“等时圆”模型，分为两种情况：
（1）物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点时间均相等，且为t=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$（如图甲所示）．   
（2）物体沿着位于同一竖直圆上的所有过顶点的光滑弦由静止下滑，到达圆周低端时间相等为t=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$（如图乙所示）．

该题同时还考查到了数学中三角函数在物理学中的应用，要熟练的掌握三角函数的变换以及三角函数的图象．