Question

17．两颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动，它们的质量之比m_A：m_B=1：2，轨道半径之比r_A：r_B=3：1，则下列说法正确的是（　　）

• A． 它们的动能之比为E_k1：E_k2=1：6
• B． 它们的向心加速度之比为a_A：a_B=1：9
• C． 它们的向心力之比为F_A：F_B=1：18
• D． 它们的周期之比为T_A：T_B=3：1

Answer 1

分析 卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，应用万有引力公式与牛顿第二定律求出卫星的线速度、向心加速度、周期，然后求两卫星的动能、向心加速度、向心力与周期之比．

解答 解：A、卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，卫星的动能：E_K=$\frac{1}{2}$mv²，E_K=$\frac{GMm}{2r}$，卫星的动能之比：$\frac{{E}_{KA}}{{E}_{KB}}$=$\frac{{m}_{A}{r}_{B}}{{m}_{B}{r}_{A}}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，故A正确；
B、卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=ma，解得：a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，向心加速度之比：$\frac{{a}_{A}}{{a}_{B}}$=$\frac{{r}_{B}^{2}}{{r}_{A}^{2}}$=$（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{1}{9}$，故B正确；
C、它们的向心力之比：$\frac{{F}_{A}}{{F}_{B}}$=$\frac{G\frac{M{m}_{A}}{{r}_{A}^{2}}}{G\frac{M{m}_{B}}{{r}_{B}^{2}}}$=$\frac{{m}_{A}{r}_{B}^{2}}{{m}_{B}{r}_{A}^{2}}$=$\frac{1}{2}$×$（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{1}{18}$，故C正确；
D、卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$r，解得：T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，卫星的周期之比：$\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}$=$\sqrt{\frac{{r}_{A}^{3}}{{r}_{B}^{3}}}$=$\sqrt{（\frac{3}{1}）^{3}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{1}$，故D错误；
故选：ABC．

点评 本题考查了万有引力定律的应用，知道万有引力提供向心力是解题的关键，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题．