Question

10．恢复系数是反映碰撞时物体变形恢复能力的参数，它只与碰撞物体的材料有关．两物体碰撞后的恢复系数为$e=|\frac{{{v_1}'-{v_2}'}}{{{v_1}-{v_2}}}|$，其中v₁、v₂和v₁'、v₂'分别为物体m₁、m₂碰撞后的速度．某同学利用如下实验装置测定物体m₁和m₂碰撞后恢复系数．实验步骤如下：
①如图所示，将白纸、复写纸固定在竖直放置的木条上，用来记录实验中球m₁、球m₂与木条的撞击点；
②将木条竖直立在轨道末端右侧并与轨道接触，让入射球m₁从 斜轨上A点由静止释放，撞击点为B'；
③将木条平移到图中所示位置，入射球m₁从 斜轨上A点由静止释放，确定撞击点；
④球m₂静止放置在水平槽的末端相撞，将入射球m₁从 斜轨上A点由静止释放，球m₁和球m₂相撞后的撞击点；
⑤测得B'与撞击点N、P、M各点的高度差分别为h₁、h₂、h₃；
根据该同学的实验，回答下列问题：
（1）两小球的质量关系为m₁＞m₂（填“＞”、“=”或“＜”）
（2）木条平移后，在不放小球m₂时，小球m₁从斜轨顶端A点由静止释放，m₁的落点在图中的P点，把小球m₂放在斜轨末端边缘B处，小球m₁从斜轨顶端A点由静止开始滚下，使它们发生碰撞，碰后小球m₁的落点在图中点M．
（3）利用实验中测量的数据表示小球m₁和小球m₂碰撞后的恢复系数为e=$\sqrt{{h}_{2}}$（$\frac{1}{\sqrt{{h}_{1}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{h}_{3}}}$）点．
（4）若在利用天平测量出两小球的质量分别为m₁、m₂，则满足$\frac{{m}_{1}}{\sqrt{{h}_{2}}}$=$\frac{{m}_{1}}{\sqrt{{h}_{3}}}$+$\frac{{m}_{2}}{\sqrt{{h}_{1}}}$表示两小球碰撞后动量守恒；若满足$\frac{{m}_{1}}{{h}_{2}}$=$\frac{{m}_{1}}{{h}_{3}}$+$\frac{{m}_{2}}{{h}_{1}}$表示两小球碰撞前后机械能均守恒．

Answer 1

分析 （1）明确动量守恒规律，知道实验原理，从而确定实验要求；
（2）明确两球碰撞前后速度变化以及平抛运动规律，从而确定两球的碰撞位置；
（3）根据平抛运动规律进行分析，利用水平位移相等求出利用下落高度所表达式的速度公式，再根据恢复系数公式即可求出对应的表达式；
（4）根据动量守恒定律和机械能守恒定律列式，代入（3）中所求速度即可求出需要验证的表达式．

解答 解：（1）为了防止两球碰后出现反弹现象，入射球的质量一定要大于被碰球的质量；
（2）由图可知，两小球打在竖直板上，则可知，三次碰撞中水平位移相等，则可知，水平速度越大，竖直方向下落的高度越小，则由碰撞规律可知，碰后被碰球的速度最大，故其下落高度最小，而碰后入射球速度最小，其下落高度最大，则可知，在不放小球m₂时，小球m₁从斜轨顶端A点由静止释放，m₁的落点在图中的P点，而碰后入射球落到M点；
（3）根据平抛运动规律可知，下落时间t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，则可知，速度v=$\frac{x}{t}$=$\frac{x\sqrt{g}}{\sqrt{2h}}$，则可解得：v₁=$\frac{x\sqrt{g}}{\sqrt{2{h}_{2}}}$，v₁’=$\frac{x\sqrt{g}}{\sqrt{2{h}_{3}}}$；v₂’=$\frac{x\sqrt{g}}{\sqrt{2{h}_{1}}}$，代入给出恢复系数表达式可得：e=$\sqrt{{h}_{2}}$（$\frac{1}{\sqrt{{h}_{1}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{h}_{3}}}$）；
（4）若满足动量守恒，则一定有：mv₁=m₁v₁’+m₂v₂'
代入（3）中所求速度可得：
表达式应为：$\frac{{m}_{1}}{\sqrt{{h}_{2}}}$=$\frac{{m}_{1}}{\sqrt{{h}_{3}}}$+$\frac{{m}_{2}}{\sqrt{{h}_{1}}}$；
若满足机械能守恒，则有：
$\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{2}$m₁v₁'²+$\frac{1}{2}$m₂v₂'²
代入求出的速度可得：
表达式为：
$\frac{{m}_{1}}{{h}_{2}}$=$\frac{{m}_{1}}{{h}_{3}}$+$\frac{{m}_{2}}{{h}_{1}}$
故答案为：（1）＞；（2）P  M； （3）$\sqrt{{h}_{2}}$（$\frac{1}{\sqrt{{h}_{1}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{h}_{3}}}$）；（4）$\frac{{m}_{1}}{\sqrt{{h}_{2}}}$=$\frac{{m}_{1}}{\sqrt{{h}_{3}}}$+$\frac{{m}_{2}}{\sqrt{{h}_{1}}}$；$\frac{{m}_{1}}{{h}_{2}}$=$\frac{{m}_{1}}{{h}_{3}}$+$\frac{{m}_{2}}{{h}_{1}}$

点评 本题是由验证动量守恒定律的实验改进而来，关键要分析清楚实验的原理，同时要结合动量守恒定律和平抛运动的相关知识列式分析．