Question

18．某三棱镜的横截面为一直角三角形，如图所示，∠A=90°，∠B=30°，∠C=60°，棱镜材料的折射率为n，底面BC涂黑，入射光沿平行与底面BC的方向射向AB面，经AB面和AC面折射后出射．
①求出出射光线和入射光线延长线的夹角α．
②为使上述入射光线能从AC面出射，折射率n的最大值为多少？

Answer 1

分析 ①完成光路图，根据折射定律求出光线在AB面上折射角，由几何知识求出光线射到AC面上的入射角，再由折射定律求出AC面上的折射角，即可由几何关系求出出射光线和入射光线延长线的夹角δ．
②入射光线能从AC面出射时，光线不能在AC面上发生全反射，折射角的正弦值不大于1，由此求折射率n的最大值．

解答 解：画出光路图如图所示：
①因为入射光平行于BC面，可得 i=60°
由$\frac{sini}{sin{r}_{1}}$=n 得 sinr₁=$\frac{sini}{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{2n}$
在AC面上折射时，有 $\frac{sin（90°-{r}_{1}）}{sin{r}_{2}}$=$\frac{1}{n}$，则得：sinr₂=ncosr₁=$\frac{1}{2}$$\sqrt{4{n}^{2}-3}$
故出射光线和入射光线延长线的夹角为：α=60°-（90°-r₂）=arcsin$\frac{1}{2}$$\sqrt{4{n}^{2}-3}$-30°
②要使有光线从AC面射出，应有 sinr₂≤1，即有 $\frac{1}{2}$$\sqrt{4{n}^{2}-3}$≤1
解之得：n≤$\frac{\sqrt{7}}{2}$
答：①出射光线和入射光线延长线的夹角α是arcsin$\frac{1}{2}$$\sqrt{4{n}^{2}-3}$-30°．
②为使上述入射光线能从AC面出射，折射率n的最大值为$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

点评 解决本题的关键掌握光的折射定律和全反射条件，结合几何关系进行研究．