题目内容
（2008?广州一模）如图所示，竖直平面坐标系xOy的第一象限，有垂直：xOy面向外的水平勻强磁场和竖直向上的匀强电场，大小分别为B和E第四象限有垂直xOy為面向里的水平匀强电场，大小E'=2E 第三象限内有一绝缘光滑竖直放置的半径为R的半圆轨道，轨道最髙点与坐标原点O相切，最低点与绝缘光滑水平面相切于N．一质量为m的带电小球从y轴上（y＞0）的P点沿工轴正方向进入第一象限后做圆周运动，恰好通过坐标原点O，且水平切入半圆轨道并沿轨道内侧运动，过N点水平进入第四象限，并在电场中运动?（已知重力加速度为g）（1）判断小球的带电性质并求出其所带电荷量．
（2）P点距坐标原点O至少多高？
（3）若该小球以满足（2）中OP最小值的位置和对应速度进入第一象限，通过N点开始计时，经时间t=2
|
分析：带电小球进入正交的电场与磁场后，做匀速圆周运动，则重力与电场力平衡，仅由洛伦兹力提供向心力，所以由电场强度方向可确定小球的电性．小球恰能通过轨道最高点，则由重力提供向心力，从而求出最小距离．小球从O到N点仅有重力做功，其机械能守恒．而进入电场后，在x方向小球做匀速直线运动，而y方向做初速度为零的匀加速直线运动．所以由运动与力关系可求出到N点的距离．
解答：解：（1）小球进入第一象限正交的电场和磁场后，在垂直磁场的平面内做圆周运动，说明重力与电场力平衡，qE=mg ①
得q=
②
小球带正电．
（2）小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，设匀速圆周运动的速度为v、轨道半径为r．
有：qvB=m
③
小球恰能通过半圆轨道的最高点并沿轨道运动，有：mg=m
④
由③④得：r=
⑤
PO的最小距离为：y=2r=2
=
⑥
（3）小球由O运动到N的过程中机械能守恒：mg?2R+
mv2=
⑦
由④⑦得：vN=
=
⑧
根据运动的独立性可知，小球从N点进入电场区域后，在x轴方向以速度vN做匀速直线运动，沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动，则沿x轴方向有：x=vNt⑨
沿电场方向有：y=
at2⑩
a=
=
=2g?
t时刻小球距N点：s=
=6R
得q=
| mg |
| E |
小球带正电．
（2）小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，设匀速圆周运动的速度为v、轨道半径为r．
有：qvB=m
| v2 |
| r |
小球恰能通过半圆轨道的最高点并沿轨道运动，有：mg=m
| v2 |
| R |
由③④得：r=
m
| ||
| Bq |
PO的最小距离为：y=2r=2
m
| ||
| Bq |
| 2E |
| B |
|
（3）小球由O运动到N的过程中机械能守恒：mg?2R+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| mv | 2 N |
由④⑦得：vN=
| 4Rg+v2 |
| 5gR |
根据运动的独立性可知，小球从N点进入电场区域后，在x轴方向以速度vN做匀速直线运动，沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动，则沿x轴方向有：x=vNt⑨
沿电场方向有：y=
| 1 |
| 2 |
a=
| qE′ |
| m |
| 2qE |
| m |
t时刻小球距N点：s=
| x2+d2 |
点评：除考查小球在磁场中做匀速圆周运动的模型外，还涉及了小球在电场中做类平抛运动的模型．同时小球在仅受重力下能通过最高点的条件．
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