Question

（A）如图所示，一轻弹簧竖直放置在地面上，下端固定，上端连接一质量为M的水平钢板，处于静止状态．现有一质量为m的小球从距钢板h=5m的高处自由下落并与钢板发生碰撞，碰撞后瞬间小球与钢板的速度大小相同．已知M=3m，不计空气阻力，重力加速度g取=10m/s²．则小球与钢板第一次碰撞后瞬间，钢板速度的大小为

 

 m/s；碰撞前后小球的动量变化量大小为

 

kg?m．
（B）某星球的质量是地球的2倍，其半径是地球的

1

2

．若不计其他星球的影响，该星球的第一宇宙速度是地球上第一宇宙速度的

 

倍，某物体在该星球表面上所受重力是在地球表面上所受重力的

 

倍．

Answer 1

分析：（1）小球下落过程做自由落体运动，由运动学公式v=

2gh

求出小球与钢板碰撞前的速度大小．小球与钢板碰撞过程，系统动量守恒，求出第一次碰撞后瞬间钢板速度的大小，小球动量变化量△P=P′-P，等于碰撞前后动量之差．
（2）第一宇宙速度是卫星绕星近表面速度，根据地球对卫星的万有引力提供向心力求解．根据万有引力近似等于重力，求出重力之比．

解答：解：（1）取竖直向下方向为正方向．
小球下落过程做自由落体运动，得小球与钢板碰撞前的速度大小v=

2gh

=

2×10×5

m/s=10m/s
小球与钢板碰撞过程，系统动量守恒，若碰撞后两者速度方向相同，则有mv=（M+m）v′，M=3m，解得，v′=2.5m/s，
即小球与钢板第一次碰撞后瞬间，钢板速度的大小为2.5m/s．
碰撞前后小球的动量变化量为△P=mv′-mv=m×2.5-m×10=-7.5m，即碰撞前后小球的动量变化量大小为7.5m．
若碰撞后两者速度方向相反，则
  mv=-mv″+Mv″
解得，v″=5m，
△P=mv″-mv=-m×5-m×10=-15m，即碰撞前后小球的动量变化量大小为15m．
（2）设地球质量为M₁，半径为R₁；某星球的质量为M₂，半径为R₂
由万有引力定律得：G

Mm

R2

=m

v2

R

可得：第一宇宙速度v=

GM R

代入解得，该星球与地球第一宇宙速度之比为2：1．
故星球的第一宇宙速度是地球上第一宇宙速度的2倍．
由重力等于万有引力得：G_重=G

Mm

R2

则得：

G星

G地

=

M星

M地

?

R 2 地

R 2 星

=8
故答案为：A．2.5，7.5m或5，15 m；B．2；8

点评：对于卫星类型问题，关键是要建立物理模型，运用万有引力定律和向心力知识，加上数学变换来求解．